冈萨雷斯DIP第7章知识点

DIP的其他章节都好复习，唯独就这个第7章小波变换。复习起来十分头大，所以我开始写他的课后题，雾。

7.3 相关

已知两个连续函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，$f$ 和 $g$ 的相关(当 $f(x)\ne g(x)$ 时，称为互相关；当 $f(x)=g(x)$ 时，称为自相关)定义为

$$f\star g(\Delta x)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}^{\ast }(x)g(x+\Delta x)\mathrm{d}x=⟨f(x),g(x+\Delta x)⟩$$

相关有时称为 $f$ 和 $g$ 的滑动内积，度量的是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的相似性，是它们相对位移 $\Delta x$ 的函数。若$\Delta x=0$，则有

$$f\star g(0)=⟨f(x),g(x)⟩$$

基函数 $h$ 的能量，在时间-频率平面上集中于点 $({\mu }_t,{\mu }_f)$ 处。大部分能量，落在面积为 $4{\sigma }_t{\sigma }_f$ 的一个矩形区域(称为海森堡盒或单元)，

$${\sigma }_t^2{\sigma }_f^2\ge \frac{1}{16{\pi }^2}$$

因为函数的支撑集定义为函数非零的点的集合，由海森堡测不准原理知，函数在时间和频率上都存在有限支撑集是不可能的。

7.5 基图像

注意：最大频率的DFT、DHT 基图像，出现在 $u=4$ 和 $v=4$ 时。离散余弦变换、离散正弦变换出现在$u=7,v=7$ 时。

7.6 傅里叶相关变换

7.6.1 离散哈特利变换

$$s(x,u)=\frac{1}{\sqrt{N}}\mathrm{cas}\frac{2\pi ux}{N}=\frac{1}{\sqrt{N}}\left(\cos \frac{2\pi ux}{N}+\sin \frac{2\pi ux}{N}\right)$$

7.6.3 离散正弦变换

类似于DCT，DST具有与DFT大致相同的频率范围，但频率分辨率是后者的2倍。注意：与DCT和DFT的不同之处，DST没有直流(u=0)分量。

$$s(x,u)=\sqrt{\frac{2}{N+1}}\sin \frac{(x+1)(u+1)\pi }{N+1}$$

close all; clear all; clc;
A = dctmtx(8);
B = A';
C = zeros(8, 8, 64);
m = 0;
for i = 1:8
    for j = 1:8
        m = m+1;
        C(:, :, m) = B(:, i)*A(j, :);
    end
end
minvalue = min(min(min(C)));
maxvalue = max(max(max(C)));
figure,
%显示灰度图像的范围，指定为 [low high] 形式的二元素向量。
% imshow 函数将值 low（以及任何小于 low 的值）显示为黑色，并将值 high（以及任何大于 high 的值）显示为白色。
for k = 1:64
    subplot(8, 8, k), imshow(C(:, :, k), [minvalue, maxvalue]);
end

对于长度为 $N=2^J$ 的输入序列， FWT：$O(N)$； FFT：$O(N{\log }_{2}N)$。

为更好地控制时间-频率平面的划分(即得到更小的高频带宽)， 必须将 FWT 推广到称为 小波包 的更灵活的分解。这一推广的代价是，计算复杂度：从FWT的 $O(N)$ 增加到小波包的 $O(N{\log }_{2}N)$，与FFT相同。

7.35 推导公式(7.140)

$$d_j(k)=\sum _n{h}_{\psi }(n-2k)c_{j+1}(n)\text{\hspace{1em}(7.140)}$$

这个公式是快速小波变换中的，大概的含义就是小波空间 $W_j$ 中的函数可以由尺度空间 $V_{j+1}$ 中的函数来表示。这个是方便理解的，我们可以看书上的这张图。

根据式(7.135)
$$d_j=⟨f(x),{\psi }_{j,k}(x)⟩\text{\hspace{1em}(7.135)}$$

我们可以得到：

$$d_j(k)=\int f(x)2^{j/2}\psi \left(2^{j}x-k\right)dx$$

但是这里我们要推导的是细节系数和尺度系数之间的关系，所以需要将 $\psi \left(2^{j}x-k\right)$ 替换掉。我们观察到(7.130)就是小波函数关于尺度函数加权和的形式，

$$\psi (x)=\sum _{k\in \mathbf{Z}}{h}_{\psi }(k)\sqrt{2}\phi (2x-k)\text{\hspace{1em}(7.130)}$$

$$\psi \left(2^{j}x-k\right)=\sum _m{h}_{\psi }(m-2k)\sqrt{2}\phi \left(2^{j+1}x-m\right)$$

其中，$m\in Z$，于是我们可以得到

$$d_j(k)=\int f(x)2^{j/2}\left[\sum _m{h}_{\psi }(m-2k)\sqrt{2}\phi \left(2^{j+1}x-m\right)\right]dx$$

交换积分和求和的次序，可以得到

$$\begin{array}{rl}{d}_j(k)& =\sum _m{h}_{\psi }(m-2k)\int f(x)2^{(j+1)/2}\phi \left(2^{j+1}x-m\right)dx\\ & =\sum _m{h}_{\psi }(m-2k)c_{j+1}(m)\end{array}$$

clc; clear all; close all; 
f=imread('4.一幅512×512的图像.tif'); 
f=im2double(f); 
[cA,cH,cV,cD]=dwt2(f, 'haar'); 
cA=mat2gray(cA); 
cH=mat2gray(cH); 
cV=mat2gray(cV); 
cD=mat2gray(cD); 
w=[cA,cH;cV,cD];
figure; imshow(w);