冈萨雷斯DIP第5章知识点

图像增强：主要是一种 主观处理，而图像复原很大程度上是一种 客观处理。

5.1 图像退化/复原处理的一个模型

如图5.1 本章把图像退化建模为一个算子 $\mathcal{H}$ 该算子 与一个加性噪声项 $\eta (x,y)$ 共同对输入图像 $f(x,y)$ 进行运算，生成一幅退化图像 $g(x,y)$。

如果 $\mathcal{H}$ 是一个线性位置不变算子，那么空间域中的退化图像为：

$$g(x,y)=h(x,y)\star f(x,y)+\eta (x,y)\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

由空间域卷积定理可知，式(5.1)在频率域中的等效公式为：
$$G(u,v)=H(u,v)F(u,v)+N(u,v)$$

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5.2 噪声模型

5.2.1 噪声的空间和频率特性

当噪声的傅里叶谱是常量时，这类噪声通常称为白噪声。

除了空间周期噪声(5.2.3节, 教材P225)之外，本章假设噪声与空间坐标无关，并且与图像本身也不相关。

5.2.2 6种重要的噪声概率密度函数

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5.3 只存在噪声的复原——空间滤波

5.3.1 均值滤波器

1. 算术平均滤波器(最简单的均值滤波器)
   $$\hat{f}(x,y)=\frac{1}{mn}\sum _{(r,c)\in S_{xy}}g(r,c)$$

均值滤波平滑图像中的局部变化，会降低图像噪声，但会模糊图像。

%-------------------大小为5x5的算术平均滤波器--------------%
kernel = ones(5,5)/25;
g1=imfilter(f,kernel);
figure; imshow(g1);
imwrite(g1,'3×3 算术均值滤波图像.tif');

2. 几何均值滤波器
   $$\hat{f}(x,y)={\left[\prod _{(r,c)\in S_{xy}}g(r,c)\right]}^{\frac{1}{mn}}$$

几何均值滤波器实现的平滑可与算术平均滤波器相比，但损失的图像细节更少。“几何”二字来源于圆上的弦长。几何均值会略微惩罚偏离均值的成分。

gp = zeros(M+4, N+4);
gp(3:M+2,3:N+2) = f;

gp(1,:) = gp(3,:); %用图像最外层的值扩展
gp(2,:) = gp(3,:);
gp(M+4,:)=gp(M+2,:);
gp(M+3,:)=gp(M+2,:);
gp(:,2)=gp(:,3);
gp(:,1)=gp(:,3);
gp(:,N+4)=gp(:,N+2);
gp(:,N+3)=gp(:,N+2);

g2 = zeros(M, N);
for x = 3:M+2
    for y = 3:N+2
        g_gmf = 1;
        for i = -2:2
            for j = -2:2
                g_gmf = g_gmf*gp(x+i,y+j);
            end
        end
        g2(x-2,y-2)=g_gmf;
    end
end
g2=g2.^(1/9);
g2=im2uint8(g2);
figure; imshow(g2);
imwrite(g2,'5×5 几何均值滤波图像.tif');

3. 谐波平均滤波器

$$\hat{f}(x,y)=\frac{mn}{{\sum }_{(r,c)\in S_{xy}}\frac{1}{g(r,c)}}$$

能处理类似于高斯噪声的其他噪声、盐粒噪声(√)，但不能处理胡椒噪声(×)。因为调和平均数会剧烈的惩罚偏离平均值的较低值，会导致图片整体偏暗。(调和均值)

4. 反谐波平均滤波器
   $$\hat{f}(x,y)=\frac{{\sum }_{(r,c)\in S_{xy}}g(r,c{)}^{Q+1}}{{\sum }_{(r,c)\in S_{xy}}g(r,c{)}^Q}$$

其中，$Q$ 称为滤波器的阶数。适用于降低或消除椒盐噪声。如果 $Q$ 的符号选择错误 会引起灾难性的后果。

5.3.2 统计排序滤波器

1. 中值滤波器(最著名的统计排序滤波器)

f ^ ( x , y ) = median ⁡ ( r , c ) ∈ S x y { g ( r , c ) } \hat{f}(x, y)=\operatorname{median}_{(r, c) \in S_{x y}}\{g(r, c)\} f^​(x,y)=median(r,c)∈Sxy​​{ g(r,c)}

与相同尺寸的线性平滑滤波器相比，中值滤波器能有效降低某些随机噪声，且模糊度要小得多。对于单极和双极冲激噪声，中值滤波器效果更好。

% 1. 读取图像
img = imread('2.被加性均匀噪声和椒盐噪声污染的图像.tif');

% 2. 检查图像是否为彩色图像，如果是，则将其转换为灰度图像
if ndims(img) == 3
    img_gray = rgb2gray(img);
else
    img_gray = img;
end

% 3. 对灰度图像应用5x5中值滤波器
filtered_img = medfilt2(img_gray, [5, 5]);

% 4. 显示原始图像和处理后的图像
figure;
subplot(1, 2, 1);
imshow(img_gray);
title('Original Image');

subplot(1, 2, 2);
imshow(filtered_img);
title('Filtered Image with Median Filter');

% 5. 保存处理后的图像
imwrite(filtered_img, 'output_image.jpg');

2. 最大值和最小值滤波器

分别是为了降低胡椒噪声和盐粒噪声。

3. 中点滤波器

f ^ ( x , y ) = 1 2 [ max ⁡ ( r , c ) ∈ S x y { g ( r , c ) } + min ⁡ ( r , c ) ∈ S x y { g ( r , c ) } ] \hat{f}(x, y)=\frac{1}{2}\left[\max _{(r, c) \in S_{x y}}\{g(r, c)\}+\min _{(r, c) \in S_{x y}}\{g(r, c)\}\right] f^​(x,y)=21​[(r,c)∈Sxy​max​{ g(r,c)}+(r,c)∈Sxy​min​{ g(r,c)}]

计算滤波器包围区域中最大值和最小值之间的中点。

4. 修正阿尔法均值滤波器

$$\hat{f}(x,y)=\frac{1}{mn-d}\sum _{(r,c)\in S_{xy}}{g}_R(r,c),0\le d\le mn-1$$

适用于处理多种混合噪声。

% 1. 读取图像
img = imread('input_image.jpg');

% 2. 检查图像是否为彩色图像，如果是，则将其转换为灰度图像
if ndims(img) == 3
    img_gray = rgb2gray(img);
else
    img_gray = img;
end

% 3. 对灰度图像应用5x5修正阿尔法均值滤波器 (d = 6)
filtered_img = modified_alpha_trimmed_mean_filter(img_gray, 5, 6);

% 4. 显示原始图像和处理后的图像
figure;
subplot(1, 2, 1);
imshow(img_gray);
title('Original Image');

subplot(1, 2, 2);
imshow(filtered_img);
title('Filtered Image with Modified Alpha-trimmed Mean Filter');

% 5. 保存处理后的图像
imwrite(filtered_img, 'output_image.jpg');

function output_img = modified_alpha_trimmed_mean_filter(img, filter_size, d)
    img = double(img);
    [rows, cols] = size(img);
    output_img = zeros(rows, cols);

    pad_size = floor(filter_size / 2);
    padded_img = padarray(img, [pad_size pad_size], 'replicate');
    
    for i = 1:rows
        for j = 1:cols
            window = padded_img(i:i+filter_size-1, j:j+filter_size-1);
            window_sorted = sort(window(:));
            output_img(i, j) = mean(window_sorted(d/2 + 1:end - d/2));
        end
    end
    
    output_img = uint8(output_img);
end

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5.5 线性位置不变退化

一个算子对于任意 $f(x,y)$、$\alpha$、$\beta$，如果

$$\mathcal{H}[f(x-\alpha ,y-\beta )]=g(x-\alpha ,y-\beta )$$

则称具有输入/输出关系为线性位置不变退化，该定义说明：图像中任意一点处的响应只取决于该点处的输入值，而与该点的位置无关。

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5.6 估计退化函数

观察法、试验法、建模法

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5.7 逆滤波

原图像傅里叶变换的一个估计：

$$\hat{F}(u,v)=F(u,v)+\frac{N(u,v)}{H(u,v)}$$

即使知道退化函数 $H(u,v)$，也不能准确复原未退化的图像，因为 $N(u,v)$ 未知。如果退化函数 $H(u,v)$ 是零或是非常小的值，则 $N(u,v)/H(u,v)$ 很容易支配 $F(u,v)$ 项。

close all; clear all; clc;
f = imread('3.大小为480×480的模糊图像.tif');
figure; imshow(f);
f=im2double(f);
[M, N] = size(f);
F= fft2(f);
Fc=fftshift(F);
[v, u]=meshgrid(1:N, 1:M);
H=exp(-0.0025*((u-M/2).^2+(v-N/2).^2).^(5/6));
G=Fc./(H+eps);
G1=ifftshift(G);
g1=ifft2(G1);
figure; imshow(g1, []);

使用10阶Butterworth滤波器：

%---------截止半径设置为 40---------%
H2= zeros(M,N);
D0 = 40;
for x = 1:1:M
    for y = 1:1:N
        D = ((x-M/2)^2 + (y-N/2)^2)^(0.5);
        H2(x,y) = 1/(1+(D/D0)^20);
    end
end
G2=G.*H2;
G2=ifftshift(G2);
g2=ifft2(G2);
subplot(131); imshow(g2, []);title('截止半径为40');

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5.8 最小均方误差(维纳)滤波

$$\begin{array}{rl}\hat{F}(u,v)& =\left[\frac{H^{\ast }(u,v)S_f(u,v)}{S_f(u,v)|H(u,v){|}^2+S_{\eta }(u,v)}\right]G(u,v)=\left[\frac{H^{\ast }(u,v)}{|H(u,v){|}^2+S_{\eta }(u,v)/S_f(u,v)}\right]G(u,v)\\ & =\left[\frac{1}{H(u,v)}\frac{|H(u,v){|}^2}{|H(u,v){|}^2+S_{\eta }(u,v)/S_f(u,v)}\right]G(u,v)\end{array}$$

若噪声为零则噪声功率谱消失 维纳滤波器简化为 逆滤波器。

function restored_img = wiener_filter(noisy_img, H, noise_variance)
    G = fft2(noisy_img);
    Gc=fftshift(G);
    H_conj = conj(H);
    S = abs(H).^2;
    F = (H_conj ./ (S + 0.01)) .* Gc;
    restored_img = ifft2(ifftshift(F));
end

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5.9 约束最小二乘方滤波

function restored_img = constrained_least_squares_filter(noisy_img, H, noise_variance)
G = fft2(noisy_img);
Gc=fftshift(G);
[M,N]=size(noisy_img);
p_lpls = zeros(M,N);
p= [ 0 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 0];
p_lpls(1:3,1:3) = p;
P= fft2(p_lpls);
Pc=fftshift(P);
H_conj = conj(H);
S_1 = abs(H).^2;
S_2=abs(Pc).^2;
F = (H_conj ./ (S_1 + 0.01.*S_2)) .* Gc;
restored_img = ifft2(ifftshift(F));
end

5.10 几何均值滤波

5.11 评价复原图像质量的测度

空间域信噪比：

$$\mathrm{SNR}=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}[\hat{f}(x,y){]}^2/\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}[f(x,y)-\hat{f}(x,y){]}^2$$

频率域信噪比：
$$\mathrm{SNR}=\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}|F(u,v){|}^2/\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}|N(u,v){|}^2$$

均方误差：
$$\mathrm{MSE}=\frac{1}{MN}\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}[f(x,y)-\hat{f}(x,y){]}^2$$

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5.21

$$g(x,y)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(\alpha ,\beta )h(x-\alpha ,y-\beta )d\alpha d\beta \text{\hspace{1em}(5.61)}$$

经过简单的推导，我们可以得到下面的结果：

$$\begin{array}{rl}g(x,y)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha -a)e^{-\left[(x-\alpha {)}^2+(y-\beta {)}^2\right]}d\alpha d\beta \\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha -a)e^{-\left[(x-\alpha {)}^2\right]}{e}^{-\left[(y-\beta {)}^2\right]}d\alpha d\beta \\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha -a)e^{-\left[(x-\alpha {)}^2\right]}d\alpha {\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\left[(y-\beta {)}^2\right]}d\beta \\ & =e^{-(x-a{)}^2}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\left[(y-\beta {)}^2\right]}d\beta \\ & =\sqrt{\pi }{e}^{-\left[(x-a{)}^2\right]}\end{array}$$

可以看出来得到的图片是原图片的一个模糊版本。