清奇思路（六）从1到n整数中1出现的次数

1.题目描述

1. 1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13，因此“1”共出现6次；
2. 求出任意非负整数区间中1出现的次数。

首先需要说明的是：题目要求的是“1”的个数而不是含1的数字的个数，也就是说对于数字“11”，是有有两个“1”的。是要算两次的！！！！

2. 清奇思路：如何找数字规律判断每一位有几个“1”

牛客网该题目下咩咩jiang的回答由于没有图，字也挤在一起-_-||，原谅我第一次真的看不进去。
博客：yi_Afly的专栏中从1到n整数中1出现的次数图文并茂，讲解的很清楚，思路上和上面的大佬是相近的，建议先看yi_Afly的再回看咩咩jiang的，可能会稍稍好一些。

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下面开始是我整理两位的发言，梳理的比较有逻辑一点。

2.1 举例子找规律

yi_Afly从个位开始讲解，但是最终仍然回归到一样的代码上去，因此本文这里先和咩咩jiang一样，以百位为例，说明如何计算，然后再说明为什么个位计算方法可以与百位的相同。

我们以数字          3 1 X 5 6                 为例  //X表示百位数字不定（0~9）均有可能

2.1.1百位为例，百位上至少有多少个“1”

我们用一个Round变量表示百位之前更高位所留存的数字。
那么，很明显可以知道，不管X是多少，在Round从0~30轮中，百位上有“1”的次数至少是31次，因为百位每一次出现“1”需要持续100次（100-199），因此百位上“1”的个数至少有$31*100$。

这个100是由于百位本身的特性决定的，因此如果我们记X所在的位权重为Base，如下图所示：

那么，百位上“1”至少出现的次数就是：$Round*Base$.

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2.1.2 如果X>1(即X为2~9)

这里我们应该也知道，在第32轮，也就是Round为31的时候，只有31100 - 31199百位上会出现“1”。
所以如果$X>1$，那就是看$100-199$有多少个“1”。因此，如果X>1，百位上“1”的个数有$31*100+1*100$。

那么，此时百位上“1”出现的次数就是：$(Round+1)*Base$.

2.1.3 如果X==0

在第32轮，也就是Round为31的时候，只有31100 - 31199百位上会出现“1”。所以，如果$X==0$，那就是看$31000-31056$有多少个“1”。很明显没有。

那么，此时百位上“1”出现的次数就是：$(Round)*Base$.

2.1.4 如果X==1

在第32轮，也就是Round为31的时候，只有31100 - 31199百位上会出现“1”。所以，如果$X==1$，那就是看$31100-31156$有多少个“1”。取决于百位后面的数字是多少。
如果我们记百位后面的数字为Former，如图所示：

那么，此时百位上“1”出现的次数就是：$(Round)*Base+Former+1$.

2.2用公式写出来

$$1. Round =N/Base/10的商$$ $$2. Former =N/Base 的余数$$ 百位上“1”出现的次数就是：
$$Round+\epsilon(X-1))* Base+（Former+1）*\delta(X-1)$$
其中， $\epsilon(X)是阶跃函数，\delta(X)是冲激函数$

2.3代码表示

int NumberofOnes(int n)
{
    int count = 0;
    long long base = 1;
    for(base =1;base<=n;base*=10)
    {
        int Round =  n/base;
        int X = Round%10;
        Round/=10;
        int Former = n%base;
        count=count+(Round*base+(X>1)*base+(Former+1)*(X==1))
    }
    return count;
}

当然，根据上述思路还有一些其他的代码表示，也很精妙，但是我个人觉得不如我这个来的直观。

最后说一说为什么个位也可以用，因为个位的Former为0。不会影响到个位整体计算公式的。