Acwing_算法基础课_4

NOTE: 主要是学习期间的代码整理，y总算法基础课

第四讲 数学知识

1. 质数

1.1 试除法判定质数

bool is_prime(int n)
{
	if(n < 2) return false;
	for(int i = 2; i <= n / i; i++){  // i * i <= n TLE
		if(n % i == 0) return false; 
	}
	return true;
}

1.2 试除法分解质因数

void divide(int n)
{
	for(int i = 2; i <= n / i; i++){
		if(n % i == 0){
			int s = 0;
			while(n % i == 0){
				n /= i;
				s++;
			}
			cout << i << " " << s << endl;
		}
	}
	if(n > 1) cout << n << " " << 1 << endl;
	cout << endl;
}

1.3 朴素筛法求素数

int primes[N], cnt;    
bool st[N];         
 // primes[]存储所有素数 st[x]存储x是否被筛掉  cnt 表示的是 1 ~ n 之间
void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (st[i]) continue;
        primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = i + i; j <= n; j += i)
            st[j] = true;
    }
}

1.4 线性筛法求质数

int primes[N], cnt;   
bool st[N];        

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

2. 约数

2.1 试除法求约数

vector<int> get_divisors(int n)
{
	vector<int> res;
	for(int i = 1; i <= n / i; i++){
		if(n % i == 0){
			res.push_back(i);
			if(i != n / i) res.push_back(n / i);
		}
	}
	sort(res.begin(), res.end());
	return res;
}

2.2 约数个数和约数之和

/*
如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck
约数个数： (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)
约数之和： (p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck)
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	unordered_map<int, int> primes;
	while(n--){
		int x;
		cin >> x;
		for(int i = 2; i <= x / i; i++){
			while(x % i == 0){
				x /= i;
				primes[i] ++;
			}
		}
		if(x > 1) primes[x]++;
	}    
	
	long long res = 1; // res -- 约数个数
	long long sum = 1; // sum -- 约数之和
	for(auto prime : primes){
		res = res * (prime.second + 1) % mod;
		int fi = prime.first, se = prime.second;
		long long t = 1;
		while(se--) t = (t * fi + 1) % mod;
		sum = sum * t % mod;
	}
   
    cout << res << endl;
   	cout << sum << endl;
   
	return 0;
}

2.3 最大公约数

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

2.4 扩展欧几里得算法

// 求x, y, 使得 ax + by = gcd(a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(!b){
		x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

3. 快速幂

3.1 快速幂板子

ll qpow(ll a, ll b, ll p)
{
    ll res = 1;
    while(b){
        if(b & 1) res = res * a % p;
        b >>= 1;
        a = a * a % p;
    }
    return res;
}

3.2 乘法逆元

• 求 a 模 p 的乘法逆元

ll res = qpow(a, p - 2, p);
if(a % p) cout << res << endl;
else cout <<"impossible" << endl;

4. 欧拉函数

4.1 朴素法

int phi(int x)
{
	int res = x;
    for(int i = 2; i <= x / i; i++){
        if(x % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);
            while(x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    if(x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

4.2 筛法

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
int euler[N];           // 存储每个数的欧拉函数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉


void get_eulers(int n)
{
    euler[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt ++ ] = i;
            euler[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                euler[t] = euler[i] * primes[j];
                break;
            }
            euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
}