循环小数与费马小定理
17/05/29 22:30:51 | Snakes
背景
题目出自之前亮灯问题、杨辉三角与Sierpinski三角形提及的生日题中的第三、四、五题。
题目
第三题 证明：对于任意非\(2, 5\)倍数正整数\(n\)且满足\(n>1\)，均存在正整数\(k, i\)满足\(kn=10^i-1\)。
第四题 证明：在\(k\)进制下\((k>1)\)，任何形如\(a/b\)（\(a, b\)均为正整数）的数均为有限小数或无限循环小数。
第五题 证明：在上一问条件下，若\(b\)与\(k\)互质则\(a/b\)为无限循环小数，若\(a\)的质因子为\(k\)的质因子的子集则\(a/b\)为有限小数。
答案
既然是证明题，那么就没有标准答案。以下提供一种可行的思路并且再探讨另一个问题：\(k\)进制下\(b/a\)若循环，那么它的循环节长度\(len\)是多少？
接下来，我们将要分节讨论了。
无限循环小数
在\(k\)进制下，若有数\(x\)满足其为\(0<x<1\)的纯循环小数（即其循环节从小数点后第\(1\)位开始｜思考：若为混循环小数或大于\(1\)的纯循环小数，有什么办法将其转化求解呢？）且其循环节长度为\(len\)，循环节中数字为\(y\)，则我们可得\(x\cdot k^{len}-x=y\)。\(x\cdot k^{len}\)相当于将第一个循环节移动到小数点左侧，与\(x\)相减就得到循环节中的数字\(y\)。整理可得\(y/(k^{len}-1)=x\)。
所以，我们可得结论：数\(x=a/b\)为无限循环小数的条件为存在整数\(len, i\)满足\(bi=k^{len}-1\)。这个式子中，\(k\)取\(10\)的情形即第三题的提问。
思考题答案：若为大于\(1\)的纯循环小数，可表示成一个整数与一个\(0\)与\(1\)之间纯循环小数的和，因为整数一定能表示成任意整数作分母的分数形式，对小数部分讨论之后将整数部分加上去即可。对于混循环小数，可以乘以\(k\)的次幂，将小数点移动到循环节前，按照大于\(1\)的纯循环小数处理，最后乘以\(k\)的次幂的倒数即可。
费马小定理
对于质数\(p\)，与\(p\)互质的整数\(a\)，有下式成立：
\[a^{p-1}\equiv 1 \pmod p\]
这是接下来将要用到的定理。如何证明？
引理\(1\)：对于整数\(a, b, c\)与正整数\(p\)，若\(c, p\)互质，\(ac\equiv bc \pmod p\)，则有\(a\equiv b \pmod p\)。
证明：
移项得：
\[\begin{align}ac-bc&\equiv 0 \pmod p\\ (a-b)c&\equiv 0 \pmod p\end{align}\]
因为\(c, p\)互质，所以有：
\[\begin{align}a-b&\equiv 0\pmod p\\ a&\equiv b\pmod p\end{align}\]
引理\(2\)：对于整数\(p\)满足\(p>1\)，与\(p\)互质的整数\(b\)以及模\(p\)的完全剩余系\(a_1, a_2, .. ,a_m\)，有\(ba_1, ba_2, .. ,ba_m\)构成模\(p\)的完全剩余系。
证明：
若其不构成模\(p\)的完全剩余系，则有\(ba_i\equiv ba_j \pmod p\)成立，由引理\(1\)得，有\(a_i \equiv a_j \pmod p\)成立，与条件不符，因此\(ba_i\equiv ba_j \pmod p\)不成立，则\(ba_1, ba_2, .. ,ba_m\)构成模\(p\)的完全剩余系。
费马小定理：
构造模\(p\)下的完全剩余系\({0, 1, 2, .. , p-1}\)，由引理\(2\)得\({0, a , 2a, .. , (p-1)a}\)也为模\(p\)下的完全剩余系。可得\(1\times 2\times ..\times (p-1)\equiv a\times 2a\times ..\times (p-1)a \pmod p\)成立。则有\((p-1)!\equiv a^{p-1}(p-1)! \pmod p\)成立。因为\(p\)为质数，所以\((p-1)!\)与\(p\)互质，根据引理\(1\)得\(1\equiv a^{p-1}\pmod p\)成立。
两者之间的关系
之前提及，数\(x=a/b\)为无限循环小数的条件为存在整数\(len, i\)满足\(bi=k^{len}-1\)。而费马小定理则告诉我们，对于质数\(p\)，与\(p\)互质的整数\(a\)，有\(a^{p-1}\equiv 1 \pmod p\)。当\(b\)为质数，\(a=k\)时显然有\(k^{b-1}-1\equiv 0 \pmod b\)，也就是说，存在整数\(len, i\)满足条件。
但是当\(b\)不为质数但与\(k\)互质时怎么办？不妨将\(b\)分解质因数，令\(b=p_1^{q_1}\times p_2^{q_2} \times .. \times p_n^{q_n}\)（此处翻车），根据欧拉定理（在\(b, p\)互质下有\(p^{\varphi(b)}\equiv 1\pmod b\)），则分别有\(k^{\varphi(p_i^{q_i})} \equiv 1 \pmod {p_i^{q_i}}\)成立，其中\(1\leq i \leq n\)。可知有\(k^{c(p_i-1)p_i^{q_i-1}} \equiv 1 \pmod {p_i^{q_i-1}}\)成立。别忘了欧拉函数是积性函数，所以有下式成立：
\[k^{\frac{[(p_1-1)p_1^{q_1-1}][(p_2-1)p_2^{q_2-1}]..[(p_n-1)p_n^{q_n-1}]}{gcd[(p_1-1)p_1^{q_1-1}, (p_2-1)p_2^{q_2-1}, .. , (p_n-1)p_n^{q_n-1}]}}\equiv 1 \pmod b\]
即：
\[k^{\frac{\varphi(p_1^{q_1})\varphi(p_2^{q_2}).. \varphi(p_n^{q_n})}{gcd[ \varphi(p_1^{q_1}),\varphi(p_2^{q_2}), .. , \varphi(p_n^{q_n})]}}\equiv 1 \pmod b\]
并且由于积性函数，我们有：
\[\varphi(b) \equiv 0 \pmod {\frac{\varphi(p_1^{q_1})\varphi(p_2^{q_2}).. \varphi(p_n^{q_n})}{gcd[ \varphi(p_1^{q_1}),\varphi(p_2^{q_2}), .. , \varphi(p_n^{q_n})]}}\]
所以大多数情况下（\(b\)与\(k\)互质）时循环节长度最小值\(len\)能被\(\varphi(b)\)整除。
而对于\(b\)与\(k\)不互质的情况，我们要分类讨论。若\(b\)的质因数为\(k\)的质因数的子集，那么\(a/b\)乘以\(k\)的次幂一定可以得到一个整数，则\(a/b\)为有限小数。若不为子集，则我们将\(a/b\)乘以\(k\)的次幂，消除交集部分质因数的影响，转为\(b\)与\(k\)互质的情况继续讨论。这其实与之前思考题的解决方法一致。通过分类讨论，我们可以解决第四题与第五题。
所以，将\(k=10\)代入，我们可以证得第三题（对于任意非\(2, 5\)倍数正整数\(n\)且满足\(n>1\)，均存在正整数\(k, i\)满足\(kn=10^i-1\)。）成立。
结论
在\(k\)进制下，形如\(a/b\)（\(a, b\)均为整数）的分数（最简形式），若\(b\)与\(k\)互质，则\(a/b\)为纯循环小数。若\(b\)质因数与\(k\)质因数有交集且\(b\)质因数不为\(k\)质因数子集，则\(a/b\)为混循环小数。否则若\(b\)质因数为\(k\)质因数的子集，\(a/b\)为有限小数。
当\(a/b\)为循环小数时，在大多数情况下其循环节长度\(len=\frac{\varphi(b)}{gcd[ \varphi(p_1^{q_1}),\varphi(p_2^{q_2}), .. , \varphi(p_n^{q_n})]}\)。不难发现有\(len\leq (b-1)\)且当\(b\)为质数时\(len\)取到\(b-1\)。