线性回归 梯度下降原理与基于Python的底层代码实现

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1 梯度下降算法原理

梯度下降是一种常用的优化算法，可以用来求解许包括线性回归在内的许多机器学习中的问题。前面讲解了直接使用公式求解$\theta$ (最小二乘法的求解推导与基于Python的底层代码实现)，但是对于复杂的函数来说，可能较难求出对应的公式，因此需要使用梯度下降。

假设我们要求解的线性回归公式是：

$$y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+...+{\beta }_n{x}_n+ϵ$$

其中 $y$ 是因变量，${\beta }_i$ 是回归系数，$x_i$ 是自变量，$ϵ$ 是误差项。我们的目标是找到一组回归系数 ${\beta }_i$，使得模型能够最小化误差。

使用梯度下降算法求解线性回归可以分为以下步骤：

1. 随机初始化回归系数 ${\beta }_i$。

2. 计算模型的预测值 $\hat{y}$：

$$\hat{y}={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+...+{\beta }_n{x}_n$$

3. 计算误差（或损失函数）：

$$J({\beta }_0,{\beta }_1,...,{\beta }_n)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(y_i-\widehat{y_i}{)}^2$$

其中 $m$ 是样本数量，$y_i$ 是第 $i$ 个样本的真实值，$\widehat{y_i}$ 是对应的预测值。

4. 计算误差对于每个回归系数的偏导数：

$$\frac{\partial J}{\partial {\beta }_j}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(\widehat{y_i}-y_i)x_{ij}$$

其中 $x_{ij}$ 是第 $i$ 个样本的第 $j$ 个特征值。

5. 使用梯度下降更新回归系数：

$${\beta }_j={\beta }_j-\alpha \frac{\partial J}{\partial {\beta }_j}$$

其中 $\alpha$ 是学习率，用来控制更新的步长。

6. 重复步骤 2-5多次，直到误差达到某个预定的阈值或者达到预设的迭代次数。

梯度下降算法会不断迭代，直到误差最小化。通过不断更新回归系数，模型逐渐拟合数据，从而得到最终的结果。

（非常经典的图，已经要盘包浆了）

2 一元函数梯度下降示例代码

1. 导入此次代码所需的包，设置绘图时正常处理中文字符。

import numpy as np  
import matplotlib as mpl  
import matplotlib.pyplot as plt  
  
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']  
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

2. 定义本次要模拟的函数。为了方便起见，这里直接对函数的导数进行了定义。也可根据需要调包求梯度或者自己写一个求偏导的类。

# 一维原始图像  
def f1(x):  
    return 0.5 * (x - 2) ** 2  
# 导函数  
def h1(x):  
    return 0.5 * 2 * (x - 2)

3. 初始化梯度下降中的参数

GD_X = []  
GD_Y = []  
x = 4  
alpha = 0.1  
f_change = 1  
f_current = f1(x)  
GD_X.append(x)  
GD_Y.append(f_current)  
iter_num = 0

此处GD_X与GD_Y两个列表分别用于存储梯度下降的每一步取值，用于后面的画图。x是梯度下降的起点，可设置为随机数。f_change用于存储执行每次循环之后，y的变化值。此处赋值的意义仅在于确保能进入下面的循环而不会报错。iter_num用于记录循环执行的次数。alpha学习率，取值过大容易难以收敛，取值过小容易增加计算量。
4. 梯度下降步骤的循环

while f_change > 1e-10 and iter_num < 1000:
    iter_num += 1  
    x = x - alpha * h1(x)  
    tmp = f1(x)  
    f_change = np.abs(f_current - tmp)  
    f_current  = tmp  
    GD_X.append(x)  
    GD_Y.append(f_current)

循环结束的标准为：两次循环的y值变化（即f_change）小于1e-10或循环次数大于100。
每次循环，x的变化量都是学习率乘以这一点的梯度。之后计算变化后x对应的y和变化前x对应的外，获得两次y的差值。并将每次运行的结果使用append保存到列表之中。
5. 结果输出

print(u"最终结果为:(%.5f, %.5f)" % (x, f_current))  
print(u"迭代次数:%d" % iter_num)

大概100次后，我们找到了损失函数最小值所对应的x。
6. 结果绘图

X = np.arange(-2, 6, 0.05)  
Y = np.array(list(map(lambda t: f1(t), X)))  

plt.figure(facecolor='w')  
plt.plot(X, Y, 'r-', linewidth=2)  
plt.plot(GD_X, GD_Y, 'bo--', linewidth=2)  
plt.title(f'函数$y=0.5 * (θ - 2)^2$ \n学习率:{
      
      alpha:.3f}  最终解:x={
      
      x:.3f} y={
      
      f_current:.3f}  迭代次数:{
      
      iter_num}')  
plt.show()

可以自行尝试不同的起点，不同的学习速率对结果的影响。

3 多元函数梯度下降示例代码

当变量数为2时，梯度下降可以使用3维绘图展示。当变量书超过2时，损失函数变为超平面难以展示，因此此处以二元函数为例。

1. 定义本次要模拟的函数。

# 二元函数定义  
def f2(x, y):  
    return (x - 2) ** 2 + 2* (y + 1) ** 2  
# 偏导数  
def hx2(x, y):  
    return 2*(x - 2)  
def hy2(x, y):  
    return 4*(y + 1)

与一元函数相同，我们对函数的偏导数直接定义，减少非本博客相关的代码。
2. 初始化梯度下降中的参数

GD_X1 = []  
GD_X2 = []  
GD_Y = []  
x1 = 4  
x2 = 4  
alpha = 0.01  
f_change = 1  
f_current = f2(x1, x2)  
GD_X1.append(x1)  
GD_X2.append(x2)  
GD_Y.append(f_current)  
iter_num = 0

这里与一元函数的参数基本相同，只是多了一个用于存储额外维度的listGD_X2。
3. 梯度下降步骤的循环

while f_change > 1e-10 and iter_num < 1000:  
    iter_num += 1  
    prex1 = x1  
    prex2 = x2  
    x1 = x1 - alpha * hx2(prex1, prex2)  
    x2 = x2 - alpha * hy2(prex1, prex2)  
  
    tmp = f2(x1, x2)  
    f_change = np.abs(f_current - tmp)  
    f_current = tmp  
    GD_X1.append(x1)  
    GD_X2.append(x2)  
    GD_Y.append(f_current)  
  
print(u"最终结果为:(%.3f, %.3f, %.3f)" % (x1, x2, f_current))  
print(u"迭代次数:%d" % iter_num)

此处的逻辑与一元函数基本相同。对于每一个x，都使用对应的偏导数乘以学习速率，从而获得新的x值。如果是二元以上的多元函数同理。
运行结果为：

4. 绘图

X1 = np.arange(-5, 5, 0.2)  
X2 = np.arange(-5, 5, 0.2)  
X1, X2 = np.meshgrid(X1, X2)  
Y = np.array(list(map(lambda t: f2(t[0], t[1]), zip(X1.flatten(), X2.flatten()))))  
Y.shape = X1.shape

fig = plt.figure(facecolor='w')  
ax = Axes3D(fig)  
ax.plot_surface(X1, X2, Y, rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.jet, alpha=0.8)  
ax.plot(GD_X1, GD_X2, GD_Y, 'ko-')  
ax.set_xlabel('x')  
ax.set_ylabel('y')  
ax.set_zlabel('z')  
plt.show()

对于三维数据，我们使用meshgrid构建了绘图网格，用于绘制函数图像。在绘制完函数图像的基础上，绘制梯度下降每一步的图像。绘制折线图时，ko-代表黑色、圆点、虚线。
（3D图像建议设置为单独显示，方便拖动视角查看）

实际上，梯度下降的种类也有很多，比如随机梯度下降、批量梯度下降，小批量梯度下降。这些内容将会在下一篇博客中进行讲解。