前言
最大团问题是一个经典的组合优化问题，它的目标是在一个无向图中找到一个最大的完全子图，即一个最大的顶点集合，使得这些顶点之间两两有边相连。最大团问题是NP-完全的，因此不存在多项式时间的确定性算法来解决它。本实验中，我们将介绍基于回溯和分支限界思想的算法来求解最大团问题
实验内容
给定一个无向图G=(V,E)。若 ,且对任意的,都有边 ,则称U是图G的一个完全子图。G的完全子图U是一个图，当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。G的最大团是指包含顶点数最多的团。对给定的无向图，找出最大团中定点的个数。
实验流程
根据实验内容设计算法伪代码进行算法描述，利用C++/C/Java等编程语言对算法伪代码进行工程化实现，输入测试用例对算法进行验证，列出算法时间复杂度模型并与计算机运行统计时间进行对比分析。
已收到消息. 实验步骤是根据实验内容设计算法伪代码进行算法描述，利用C++/C/Java等编程语言对算法伪代码进行工程化实现，输入测试用例对算法进行验证，列出算法时间复杂度模型并与计算机运行统计时间进行对比分析。
实验过程
使用回溯算法实现
算法分析
这个问题是一个经典的组合优化问题，叫做最大团问题（Maximum Clique Problem，MCP）¹²³⁵。它可以用图论的语言来描述：在一个无向图中，找一个顶点集合，使得该集合中任意两个顶点都有边相连，并且该集合不能再加入任何其他顶点。该集合中顶点的个数就是最大团的大小。
要求使用C语言编写程序实现上述算法，并分析其算法复杂度。
这个问题是一个NP-hard问题¹²³⁵，也就是说，目前还没有已知的多项式时间的算法来解决它。因此，对于较大规模的问题，我们通常需要使用启发式算法或近似算法来寻找次优解或近似解²⁴。
不过，对于较小规模的问题，我们可以使用回溯法来寻找最优解¹³⁵。回溯法的基本思想是从空集开始，逐步扩充候选解，并检查是否满足约束条件和限界条件。如果满足约束条件，则继续扩充候选解；如果满足限界条件，则回溯到上一步，并尝试其他选择；如果找到一个可行解，则更新当前最优解。
对于最大团问题，我们可以用一个一维数组cand来表示候选解，即当前选择的顶点集合；用一个一维数组best来表示当前最优解，即当前找到的最大团；用一个整数maxsize来表示当前最优解的大小，即当前最大团中顶点的个数；用一个二维数组graph来表示无向图中顶点间是否有边相连；用一个整数n来表示无向图中顶点的个数。
我们可以从第0个顶点开始，逐个考虑是否加入候选解。对于每个顶点i，我们有两种选择：加入或不加入。如果加入，则需要检查是否满足约束条件和限界条件。约束条件是候选解中所有顶点都要与i有边相连；限界条件是剩余未考虑的顶点数加上候选解中顶点数要大于当前最优解中顶点数。如果满足约束条件和限界条件，则将i加入候选解，并递归考虑下一个顶点；如果不满足约束条件或限界条件，则回溯到上一步，并尝试不加入i。如果找到一个可行解（即考虑完所有顶点后），则更新当前最优解和最优解大小。
伪代码
// 定义一个常量表示顶点的最大数量
定义 MAXN 为 100
// 声明全局变量
n: 整数 // 顶点数量
graph: 布尔型矩阵，大小为 MAXN 乘以 MAXN // 无向图的邻接矩阵
cand: 布尔型数组，大小为 MAXN // 候选解
best: 布尔型数组，大小为 MAXN // 当前最优解
maxsize: 整数 // 当前最优解大小
// 检查是否满足约束条件
函数 check(i: 整数) 返回 布尔型
// 遍历 i 之前的所有顶点
对于 j 从 0 到 i - 1
// 如果顶点 j 在候选解中，并且与 i 不相邻
如果 cand[j] 是真 并且 graph[i][j] 是假
// 返回假
返回 假
// 返回真
返回 真
// 回溯法函数求解最大团
函数 backtrack(i: 整数)
// 如果考虑完所有顶点
如果 i 等于 n
// 用候选解更新当前最优解
对于 j 从 0 到 n - 1
best[j] = cand[j]
// 用 i 更新当前最优解大小
maxsize = i
// 否则
否则
// 如果满足约束条件
如果 check(i) 是真
// 将 i 加入候选解
cand[i] = 真
// 如果还有可能改进当前最优解大小
如果 n - i + maxsize 大于 maxsize
// 递归考虑下一个顶点
backtrack(i + 1)
// 将 i 移出候选解
cand[i] = 假
// 如果还有可能改进当前最优解大小
如果 n - i + maxsize 大于 maxsize
// 不将 i 加入候选解
cand[i] = 假
// 递归考虑下一个顶点
backtrack(i + 1)
// 输出结果及其文字说明
函数 output()
// 输出当前最优解大小
打印 "给定无向图中最大团中定点的个数为：" + maxsize + "\n"
// 输出当前最优解中的顶点
打印 "具体定点为："
对于 i 从 0 到 n - 1
如果 best[i] 是真
打印 i + " "
打印 "\n"
// 主函数
函数 main()
// 输入顶点数量
输入 n
// 输入邻接矩阵（如果两个顶点之间有边，则输入1；否则输入0）
对于 i 从 0 到 n - 1
对于 j 从 0 到 n - 1
输入 x: 整数
graph[i][j] = x 等于 1
// 初始化当前最优解大小为0
maxsize = 0
// 调用回溯法函数求解最大团，以顶点0为第一个候选
backtrack(0)
// 输出结果及其文字说明
output()
代码实现
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#define MAXN 100 // 顶点最大数量
int n; // 顶点数量
bool graph[MAXN][MAXN]; // 无向图邻接矩阵
bool cand[MAXN]; // 候选解
bool best[MAXN]; // 当前最优解
int maxsize; // 当前最优解大小
// 检查是否满足约束条件
bool check(int i) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (cand[j] && !graph[i][j]) return false; // 如果候选解中有与i不相邻的顶点，则返回false
}
return true; // 否则返回true
}
// 回溯法求解最大团
void backtrack(int i) {
if (i == n) {
// 如果考虑完所有顶点
for (int j = 0; j < n; j++) {
best[j] = cand[j]; // 更新当前最优解
}
maxsize = i; // 更新当前最优解大小
} else {
if (check(i)) {
// 如果满足约束条件
cand[i] = true; // 将i加入候选解
if (n - i + maxsize > maxsize) {
// 如果满足限界条件
backtrack(i + 1); // 递归考虑下一个顶点
}
cand[i] = false; // 回溯到上一步
}
if (n - i + maxsize > maxsize) {
// 如果满足限界条件
cand[i] = false; // 不将i加入候选解
backtrack(i + 1); // 递归考虑下一个顶点
}
}
}
// 输出结果及其文字说明
void output() {
printf("给定无向图中最大团中定点的个数为：%d\n", maxsize); // 输出当前最优解大小
printf("具体定点为：");
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (best[i]) printf("%d ", i); // 输出当前最优解中的顶点
}
printf("\n");
}
// 主函数
int main() {
scanf("%d", &n); // 输入顶点数量
// 输入邻接矩阵（如果两个顶点之间有边，则输入1；否则输入0）
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
int x;
scanf("%d", &x);
graph[i][j] = x == 1;
}
}
maxsize = 0; // 初始化当前最优解大小为0
backtrack(0); // 调用回溯法函数求解最大团
output(); // 输出结果及其文字说明
return 0;
}
分析算法复杂度
- 时间复杂度：由于需要遍历所有可能的子集选择，并对每个选择进行约束条件和限界条件的检查，所以时间复杂度为O(2^n*n)。
- 空间复杂度：由于需要使用两个一维数组来存储候选解和当前最优解，所以空间复杂度为O(n)。
回溯算法
回溯法是一种搜索算法，它可以用来求解一些组合优化问题，比如最大团问题。回溯法的基本思想是从一个空的候选解开始，逐步扩展候选解的规模，每次考虑一个新的元素（比如一个顶点），并检查是否满足约束条件（比如与候选解中的其他顶点都相邻）。如果满足约束条件，就将这个元素加入候选解，并继续考虑下一个元素。如果不满足约束条件，就放弃这个元素，并回溯到上一步，尝试其他的选择。在搜索过程中，还可以利用限界条件（比如当前最优解大小）来剪枝，即放弃一些不可能得到更好结果的分支。当考虑完所有的元素后，就得到了一个最优解。
用例测试
- 首先输入一个整数n，表示顶点的数量。
- 然后输入n行，每行有n个整数，表示邻接矩阵。如果两个顶点之间有边，则输入1；否则输入0。
- 例如，如果有5个顶点，邻接矩阵如下：
0 1 0 1 1
1 0 1 0 1
0 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 1 1 1 0
则输入为：
5
0 1 0 1 1
1 0 1 0 1
0 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 1 1 1 0
使用分支限界算法完成
分支限界算法是一种类似于回溯法的搜索算法，它也可以用来求解一些组合优化问题，比如最大团问题。分支限界算法的基本思想是从一个空的候选解开始，逐步扩展候选解的规模，每次考虑一个新的元素（比如一个顶点），并检查是否满足约束条件（比如与候选解中的其他顶点都相邻）。如果满足约束条件，就将这个元素加入候选解，并继续考虑下一个元素。如果不满足约束条件，就放弃这个元素，并回溯到上一步，尝试其他的选择。在搜索过程中，还可以利用限界条件（比如当前最优解大小）来剪枝，即放弃一些不可能得到更好结果的分支。与回溯法不同的是，分支限界算法使用了一个优先队列来存储候选解，每个候选解都有一个优先级，表示它的潜在价值（比如当前候选解大小加上剩余可选顶点数量）。分支限界算法每次从优先队列中取出优先级最高的候选解进行扩展，直到找到一个最优解或者优先队列为空。
伪代码
// 定义一个常量表示顶点的最大数量
定义 MAXN 为 100
// 声明全局变量
n: 整数 // 顶点数量
graph: 布尔型矩阵，大小为 MAXN 乘以 MAXN // 无向图的邻接矩阵
best: 布尔型数组，大小为 MAXN // 当前最优解
maxsize: 整数 // 当前最优解大小
// 定义一个结构体表示候选解
定义 Node 为 结构体
cand: 布尔型数组，大小为 MAXN // 候选解
size: 整数 // 候选解大小
level: 整数 // 当前考虑的顶点编号
bound: 整数 // 候选解的潜在价值
// 检查是否满足约束条件
函数 check(node: Node, i: 整数) 返回 布尔型
// 遍历 i 之前的所有顶点
对于 j 从 0 到 i - 1
// 如果顶点 j 在候选解中，并且与 i 不相邻
如果 node.cand[j] 是真 并且 graph[i][j] 是假
// 返回假
返回 假
// 返回真
返回 真
// 计算候选解的潜在价值
函数 bound(node: Node) 返回 整数
// 初始化潜在价值为当前候选解大小
b: 整数 = node.size
// 遍历剩余可选顶点
对于 i 从 node.level + 1 到 n - 1
// 如果顶点 i 可以加入候选解
如果 check(node, i) 是真
// 潜在价值加一
b = b + 1
// 返回潜在价值
返回 b
// 分支限界法求解最大团
函数 branch_and_bound()
// 创建一个空的优先队列，按照潜在价值降序排列
queue: 优先队列<Node>
// 创建一个空的候选解结点，并计算其潜在价值
root: Node = 新建 Node()
root.size = 0
root.level = -1
root.bound = bound(root)
// 将空结点加入优先队列
queue.插入(root)
// 初始化当前最优解大小为0
maxsize = 0
// 当优先队列不为空时循环
当 queue.不为空()
// 取出优先队列中优先级最高的结点
node: Node = queue.删除()
// 如果该结点的潜在价值大于当前最优解大小
如果 node.bound 大于 maxsize
// 考虑下一个顶点
i: 整数 = node.level + 1
// 如果该顶点可以加入候选解
如果 check(node, i) 是真
// 创建一个新的结点，并将该顶点加入候选解
left: Node = 新建 Node()
left.cand = node.cand 的拷贝
left.cand[i] = 真
left.size = node.size + 1
left.level = i
left.bound = bound(left)
// 如果该结点是一个最优解
如果 left.size 大于 maxsize
// 更新当前最优解和当前最优解大小
maxsize = left.size
best = left.cand 的拷贝
// 如果该结点还有可能得到更好结果
如果 left.bound 大于 maxsize
// 将该结点加入优先队列
queue.插入(left)
// 创建一个新的结点，并不将该顶点加入候选解
right: Node = 新建 Node()
right.cand = node.cand 的拷贝
right.cand[i] = 假
right.size = node.size
right.level = i
right.bound = bound(right)
// 如果该结点还有可能得到更好结果
如果 right.bound 大于 maxsize
// 将该结点加入优先队列
queue.插入(right)
// 输出结果及其文字说明
函数 output()
// 输出当前最优解大小
打印 "给定无向图中最大团中定点的个数为：" + maxsize + "\n"
// 输出当前最优解中的顶点
打印 "具体定点为："
for i from 0 to n - 1
if best[i] is true
print i + " "
print "\n"
// 主函数
函数 main()
// 输入顶点数量
输入 n
// 输入邻接矩阵（如果两个顶点之间有边，则输入1；否则输入0）
for i from 0 to n - 1
for j from 0 to n - 1
input x: integer
graph[i][j] = x equals 1
// 调用分支限界法函数求解最大团
branch_and_bound()
// 输出结果及其文字说明
output()
代码实现
// 定义一个常量表示顶点的最大数量
#define MAXN 100
// 声明全局变量
int n; // 顶点数量
bool graph[MAXN][MAXN]; // 无向图的邻接矩阵
bool best[MAXN]; // 当前最优解
int maxsize; // 当前最优解大小
// 定义一个结构体表示候选解
typedef struct Node {
bool cand[MAXN]; // 候选解
int size; // 候选解大小
int level; // 当前考虑的顶点编号
int bound; // 候选解的潜在价值
} Node;
// 检查是否满足约束条件
bool check(Node node, int i) {
// 遍历 i 之前的所有顶点
for (int j = 0; j < i; j++) {
// 如果顶点 j 在候选解中，并且与 i 不相邻
if (node.cand[j] && !graph[i][j]) {
// 返回假
return false;
}
}
// 返回真
return true;
}
// 计算候选解的潜在价值
int bound(Node node) {
// 初始化潜在价值为当前候选解大小
int b = node.size;
// 遍历剩余可选顶点
for (int i = node.level + 1; i < n; i++) {
// 如果顶点 i 可以加入候选解
if (check(node, i)) {
// 潜在价值加一
b++;
}
}
// 返回潜在价值
return b;
}
// 分支限界法求解最大团
void branch_and_bound() {
// 创建一个空的优先队列，按照潜在价值降序排列
Node queue[MAXN];
int front = 0, rear = 0;
// 创建一个空的候选解结点，并计算其潜在价值
Node root;
root.size = 0;
root.level = -1;
root.bound = bound(root);
// 将空结点加入优先队列
queue[rear++] = root;
// 初始化当前最优解大小为0
maxsize = 0;
// 当优先队列不为空时循环
while (front < rear) {
// 取出优先队列中优先级最高的结点
Node node = queue[front++];
// 如果该结点的潜在价值大于当前最优解大小
if (node.bound > maxsize) {
// 考虑下一个顶点
int i = node.level + 1;
// 如果该顶点可以加入候选解
if (check(node, i)) {
// 创建一个新的结点，并将该顶点加入候选解
Node left;
for (int j = 0; j < MAXN; j++) {
left.cand[j] = node.cand[j];
}
left.cand[i] = true;
left.size = node.size + 1;
left.level = i;
left.bound = bound(left);
// 如果该结点是一个最优解
if (left.size > maxsize) {
// 更新当前最优解和当前最优解大小
maxsize = left.size;
for (int j = 0; j < MAXN; j++) {
best[j] = left.cand[j];
}
}
// 如果该结点还有可能得到更好结果
if (left.bound > maxsize) {
// 将该结点加入优先队列
queue[rear++] = left;
}
}
// 创建一个新的结点，并不将该顶点加入候选解
Node right;
for (int j = 0; j < MAXN; j++) {
right.cand[j] = node.cand[j];
}
right.cand[i] = false;
right.size = node.size;
right.level = i;
right.bound = bound(right);
// 如果该结点还有可能得到更好结果
if (right.bound > maxsize) {
// 将该结点加入优先队列
queue[rear++] = right;
}
}
}
}
// 输出结果及其文字说明
void output() {
// 输出当前最优解大小
printf("给定无向图中最大团中定点的个数为：%d\n", maxsize);
printf("\n");
// 输出当前最优解中的顶点
printf("具体定点为：");
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (best[i]) {
printf("%d ", i);
}
}
printf("\n");
}
// 主函数
int main() {
// 输入顶点数量
printf("请输入顶点数量：");
scanf("%d", &n);
// 输入邻接矩阵（如果两个顶点之间有边，则输入1；否则输入0）
printf("请输入邻接矩阵（如果两个顶点之间有边，则输入1；否则输入0）：\n");
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
int x;
scanf("%d", &x);
graph[i][j] = x == 1;
}
}
// 调用分支限界法函数求解最大团
branch_and_bound();
// 输出结果及其文字说明
output();
}
复杂度分析
该算法的复杂度分析可以从时间复杂度和空间复杂度两个方面来进行。
时间复杂度是指算法在不同输入规模下所需的执行时间。一般来说，我们用渐进符号来表示时间复杂度，例如大O符号、大Ω符号和大Θ符号。这些符号可以忽略常数因子和低阶项，只关注算法的增长趋势。
空间复杂度是指算法在不同输入规模下所需的存储空间。一般来说，我们也用渐进符号来表示空间复杂度，例如大O符号、大Ω符号和大Θ符号。这些符号同样可以忽略常数因子和低阶项，只关注算法的增长趋势。
为了计算该算法的时间复杂度和空间复杂度，我们需要分析每个函数的时间和空间开销，并根据主函数的调用情况，得到整个算法的时间和空间开销。
main函数：
main函数主要负责输入数据和调用其他函数。输入数据需要两层循环，每层循环的次数为n，因此输入数据的时间复杂度为O(n^2)。调用其他函数的时间复杂度取决于具体的函数，我们稍后分析。main函数没有申请额外的空间，因此空间复杂度为O(1)。
check函数：
check函数主要负责检查是否满足约束条件。检查条件需要一层循环，循环的次数为i，因此检查条件的时间复杂度为O(i)。check函数没有申请额外的空间，因此空间复杂度为O(1)。
bound函数：
bound函数主要负责计算候选解的潜在价值。计算价值需要一层循环，循环的次数为n - node.level - 1，因此计算价值的时间复杂度为O(n - node.level - 1)。bound函数没有申请额外的空间，因此空间复杂度为O(1)。
branch_and_bound函数：
branch_and_bound函数主要负责使用分支限界法求解最大团。求解最大团需要一个优先队列来存储候选解结点，并不断从队列中取出结点进行扩展。优先队列中最多可以存储2^n个结点，因此优先队列的空间复杂度为O(2^n)。每次从队列中取出一个结点时，需要考虑下一个顶点是否可以加入候选解，并生成两个新的结点（左孩子和右孩子）。考虑顶点是否可以加入候选解时，需要调用check函数，并传入当前结点和下一个顶点作为参数。生成新的结点时，需要调用bound函数，并传入新生成的结点作为参数。因此，每次从队列中取出一个结点时，需要花费O(i) + O(n - i - 1) = O(n)的时间（其中i是当前考虑的顶点编号）。由于优先队列中最多有2^n个结点，因此总共需要花费O(n * 2^n)的时间。综上所述，branch_and_bound函数的时间复杂度为O(n * 2^n)，空间复杂度为O(2^n)。
output函数：
output函数主要负责输出结果及其文字说明。输出结果需要一层循环，循环的次数为n，因此输出结果的时间复杂度为O(n)。output函数没有申请额外的空间，因此空间复杂度为O(1)。
综合以上分析，该算法的总体时间复杂度为：
T(n) = O(n^2) + O(n * 2^n) + O(n)
由于O(n * 2^n)是最高阶项，因此忽略其他项和常数因子后得到：
T(n) = O(n * 2^n)
该算法的总体空间复杂度为：
S(n) = O(1) + O(2^n) + O(1)
由于O(2^n)是最高阶项，因此忽略其他项和常数因子后得到：
S(n) = O(2^n)
用例测试
请输入顶点数量：6
请输入邻接矩阵（如果两个顶点之间有边，则输入1；否则输入0）：
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0
1 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 1 0
给定无向图中最大团中定点的个数为：3
具体定点为：2 3 5
总结
本文是对回溯与分支限界算法实验中最大团问题的一个总结。最大团问题是指在一个无向图中，找出包含顶点数最多的完全子图，即任意两个顶点之间都有边相连的子图。本文介绍了用回溯法和分支限界法来求解最大团问题的思路和代码实现，并对算法的时间复杂度和优化方法进行了分析。
回溯法是一种基于深度优先搜索的算法，它从一个空团开始，依次考虑每个顶点是否加入团中。如果当前顶点与已加入团中的所有顶点邻接，那么就有两种选择：一种是将当前顶点加入团中，然后递归考虑下一个顶点；另一种是不将当前顶点加入团中，直接考虑下一个顶点。当所有顶点都考虑完后，就得到了一个可能的最大团。然后回溯到上一层，继续搜索其他可能的最大团。在搜索过程中，可以用一个变量记录当前找到的最大团的大小，以及用一个数组记录当前找到的最大团的顶点。每次更新最大团时，就用新的结果替换旧的结果。为了减少不必要的搜索，可以用剪枝函数来判断当前情况是否有可能得到更优的解。剪枝函数可以根据当前已选顶点数和剩余可选顶点数来判断，如果当前已选顶点数加上剩余可选顶点数小于等于已找到的最大团大小，那么就没有必要继续搜索。
分支限界法是一种基于广度优先搜索的算法，它用一个活结点表来存储当前未扩展的结点，每个结点表示一个可能的最大团。初始时，活结点表只有一个空结点。每次从活结点表中取出一个结点，然后考虑下一个顶点是否加入该结点所表示的团中。如果可以加入，那么就生成一个新的结点，并将其加入活结点表中；如果不可以加入，那么就不生成新的结点。然后再考虑不加入该顶点的情况，同样生成或不生成新的结点，并加入活结点表中。重复这个过程，直到活结点表为空或者所有顶点都考虑完毕。在扩展过程中，可以用一个变量记录当前找到的最大团的大小，以及用一个数组记录当前找到的最大团的顶点。每次更新最大团时，就用新的结果替换旧的结果。为了减少不必要的扩展，可以用上界函数来判断当前情况是否有可能得到更优的解。上界函数可以根据当前已选顶点数和剩余可选顶点数来判断，如果当前已选顶点数加上剩余可选顶点数小于等于已找到的最大团大小，那么就没有必要扩展该结点。
回溯法和分支限界法都是指数级别的算法，它们在最坏情况下都需要遍历所有可能的子集树。但是通过合理地设计剪枝函数和上界函数，可以有效地减少搜索空间和提高效率。在实际应用中，还可以根据具体问题的特征来设计更优化的算法。