这个问题可以堪称一个全排列，[起点，剩下的全排列]
回溯法
import numpy as np
class backtracking_Traveling_saleman:
# 初始化，明确起点
def __init__(self,graph,start=0):
# 顶点的个数
self.vertex_num = len(graph)
self.graph = graph
self.start = start
# 当前解，当前解为顶点的集合[起点，顶点1，...顶点n-1],初始时，第0个为起点
# 从第一个到n-1个为排列树
# 解为[起点，顶点1，...顶点n-1]
# 解的目标函数为：起点到顶点1距离（depth =1）+顶点1到顶点2的+...+顶点depth-1到depth的距离
# 顶点n-2到顶点n-1(depth=n-1)距离，最后还要构成环路+顶点n-1到起点的距离，求上述和的最小值。
self.curSolution = [i for i in range(self.vertex_num)]
# 用于存最好的解
self.bestSolution = [-1] *self.vertex_num
# 当前花费初始距离为0
self.curCost = 0
# 界初始为很大，得到一个解之后更新，也可以提前更新
self.bestCost = np.inf
def backtracking(self,depth):
# 当到达最后一个顶点，为递归出口
if depth == self.vertex_num-1:
# 最后一层时，目前函数应该为：当前的距离和+前一个顶点到最后顶点距离+最后顶点到起点的距离
temp_cost = self.curCost + self.graph[self.curSolution[depth-1]][self.curSolution[depth]] + self.graph[self.curSolution[depth]][self.curSolution[self.start]]
# 当前解优于最优解的话，更新最优解，假如求可行解的话，就需要把可行解保存起来
if temp_cost < self.bestCost:
self.bestCost = temp_cost
self.bestSolution[:] = self.curSolution[:]
else:
# 下面就是排列树的处理，我们需要求除了起点之外的[顶点1，...顶点n-1]n-1个起点的全排列
# 我们处理的是标号，也就是self.curSolution = [i for i in range(self.vertex_num)]
# 所以我们全排列都是self.curSolution里面的数
for i in range(depth,self.vertex_num):
# self.curSolution[depth],self.curSolution[i] = self.curSolution[i],self.curSolution[depth]
# 当满足我们定义的界时，才可以进入下一层，也就是走过的长度<最优值的话（注意我们这儿要求的是最小值），我们才继续搜索，否则剪掉
# 有没有人注意到这里是depth-1到i,而不是depth-1 到 depth?
# 实际上我们学习到模板应该是，先交换，然后满足constraint() && bound() 回溯，最后再交换
# 编码时先交换的话，这个地方就应该写成depth-1 到 depth，还没交换的话就是depth-1到i
# 这里是做了优化处理，不满足条件的话，交换都没有必要执行
if self.curCost + self.graph[self.curSolution[depth-1]][self.curSolution[i]] < self.bestCost:
# 全排列，把 当前 和第一位交换，除第一位以外剩下的的进行全排列
self.curSolution[depth],self.curSolution[i] = self.curSolution[i],self.curSolution[depth]
# 同理这里为什么是depth-1 到 depth，为不是depth-1到i，也是一样的道理
self.curCost += self.graph[self.curSolution[depth-1]][self.curSolution[depth]]
# 进入下一层
self.backtracking(depth+1)
# 回溯处理，恢复现场
self.curCost -= self.graph[self.curSolution[depth-1]][self.curSolution[depth]]
self.curSolution[depth],self.curSolution[i] = self.curSolution[i],self.curSolution[depth]
# self.curSolution[depth],self.curSolution[i] = self.curSolution[i],self.curSolution[depth]
def print_Result(self):
# 我们需要求除了起点之外的[顶点1，...顶点n-1]n-1个起点的全排列
self.backtracking(1)
print(self.bestCost)
print(self.bestSolution)
限界分支法，优先级队列实现方式
约束条件：只能未走过的点
代价函数：走过的长度+后续未走过的长度
如下的优先级队列方式实现，当前最后解一直到底部才更新，没有提前更新，所以首先有一次走到底部，而越靠近root的结点的界是越小的，因为大部分都是最小出边和，那么走到底之后，就会回到靠近靠近root的结点再次往下走，加入当前最优解较大的话，那他就一直处于优先级队列的尾部，无出头之日，那优先级队列就相当于深度优先回溯了。
import numpy as np
import heapq
class Node:
def __init__(self,curCost=None,depth=None,rcost = None,path = None,lbound =None):
# 限界函数，我们定义限界函数为：当前走过的长度+未走过的结点最小出边的长度和
# 这个用于优先级队列排序
self.lbound = lbound
# 当前走过的距离
self.curCost = curCost
# 当前的解的深度
self.depth = depth
# 路径，从0到depth为已走过的，depth+1到n-1为未走过的结点
self.path = path
# depth到n-1为未走过的结点的最小出边的和
self.rcost = rcost
# 这个用于结点比较大小，之前的（weights,node)方式有时会出问题，是有时候，
# 现在使用这种方式，lt means less than
def __lt__(self,other):
return int(self.lbound) <int(other.lbound)
class prune_Traveling_saleman:
def __init__(self,graph,start=0):
self.num = len(graph)
self.graph = graph
self.start = start
# 用于存储最优的结果
self.bestNode = Node(np.inf,-1,-1,None,-1)
# 用于存储每个顶点的最小出边
self.minOut = [np.inf]*self.num
# 所有的最小出边之和
self.minSum =0
for i in range(self.num):
for j in range(self.num):
if i !=j and graph[i][j] < self.minOut[i]:
self.minOut[i] = graph[i][j]
self.minSum += self.minOut[i]
def traveling_Saleman(self):
pqueue =[]
# 第0层，就是起点，也可以认为是第一层，这里为了处理数据方便成为第0层
# [i for i in range(self.num)]为开始的路径[0,1,2,3],path[0]是已经确定为0
# 最开始curCost =0，depth=0，rcost =self.minSum，lbound= self.minSum
curNode = Node(0,0,self.minSum,[i for i in range(self.num)],self.minSum)
# 把第一个结点放入
pqueue = [curNode,]
depth =0
while depth <= self.num-2:
# 弹出结点
curNode = heapq.heappop(pqueue)
curCost = curNode.curCost
depth = curNode.depth
rcost = curNode.rcost
path = curNode.path
# 当处于倒数第2层时，就可以处理最后结果了，可以考虑结束了
if depth == self.num-2:
# 处于当处于倒数第2层时，lbound就是当前走过的距离+当前结点到最后一个结点的距离
# + 最后一个结点到起点的距离；实际上也可以考虑self.num-1层，那就只需要加上
# 当前结点到起点的距离
lbound = curCost + self.graph[path[depth]][path[depth+1]] + self.graph[path[depth+1]][path[0]]
# 如果下界小于当前最优的结果，就可以考虑输出结果了
if lbound < self.bestNode.curCost:
# 把当前值和当前路径输出
self.bestNode.curCost = lbound
self.bestNode.path = path
# 以下只是方便退出，当depth == self.num-1时退出
node = Node(lbound,depth+1,lbound,path,lbound)
heapq.heappush(pqueue,node)
else:
# 一般情况下首先更新下一层，也就是未走过结点最小出边和，
# 需要减去当前结点的最小出边，
temp_rcost = rcost - self.minOut[path[depth]]
for i in range(depth+1,self.num):
# 当前走过的距离，需要更新为加上当前结点到下一个结点的距离
temp_cur = curCost + self.graph[path[depth]][path[i]]
# 当前结点的下界为，当前走过的距离+未走过结点最小出边和
lbound = temp_cur + temp_rcost
# 只有当下界小于self.bestNode.curCost才有放入优先级队列的必要
if lbound < self.bestNode.curCost:#
# 放入前需要更新path里面这一层depth加入的结点号
# 只要把path[depth]记录为当前选择的结点就行了，同时path[depth]位置
# 之前放置的那个结点放到刚刚空的那个地方就行了
# 这一层还有其他的分支，所有不能直接在path上操作，因为这样下一个分支也
# 用这个path就乱了。也可以可以先换了，压入之后再换回来
temp_path = path[:]
temp_path[depth+1],temp_path[i] = temp_path[i],temp_path[depth+1]
# 把这个分支压入优先级队列
node = Node(temp_cur,depth+1,temp_rcost,temp_path,lbound)
heapq.heappush(pqueue,node)
def print_Result(self):
self.traveling_Saleman()
print(self.bestNode.curCost)
print(self.bestNode.path)
测试结果
g =[[0,5,9,4],
[5,0,13,2],
[9,13,0,7],
[4,2,7,0]]
backtracking_Traveling_saleman(g,0).print_Result()
prune_Traveling_saleman(g,0).print_Result()
23
[0, 1, 3, 2]
23
[0, 1, 3, 2]
实际上也可以考虑self.num-1层，那就只需要加上当前结点到起点的距离
def traveling_Saleman(self):
pqueue =[]
# 第1层，就是起点，也可以认为是第一层，这里为了处理数据方便成为第1层
curNode = Node(0,0,self.minSum,[i for i in range(self.num)],self.minSum)
pqueue = [curNode,]
curNode = heapq.heappop(pqueue)
curCost = curNode.curCost
depth = curNode.depth
rcost = curNode.rcost
path = curNode.path
while depth <= self.num-1:
# 处于解的最后一层，lbound就为当前的距离+当前点到起点的距离
# 在这种情况下需要注意，需要把结点弹出放在循环体的最后，到达self.num就
# 退出循环了，不会再进入判断体，否者进入判断，else就会报越界
if depth == self.num-1:
lbound = curCost + self.graph[path[depth]][path[0]]
if lbound < self.bestNode.curCost:
self.bestNode.curCost = lbound
self.bestNode.path = path
node = Node(lbound,depth+1,lbound,path,lbound)
heapq.heappush(pqueue,node)
else:
temp_rcost = rcost - self.minOut[path[depth]]
for i in range(depth+1,self.num):
temp_cur = curCost + self.graph[path[depth]][path[i]]
lbound = temp_cur + temp_rcost
if lbound < self.bestNode.curCost:# should fix
temp_path = path[:]
temp_path[depth+1],temp_path[i] = temp_path[i],temp_path[depth+1]
node = Node(temp_cur,depth+1,temp_rcost,temp_path,lbound)
heapq.heappush(pqueue,node)
curNode = heapq.heappop(pqueue)
curCost = curNode.curCost
depth = curNode.depth
rcost = curNode.rcost
path = curNode.path
def print_Result(self):
self.traveling_Saleman()
print(self.bestNode.curCost)
print(self.bestNode.path)