博客内容主要是以 北京大学 屈婉玲老师的 MOOC 视频来写的。视频共是十周的内容，我决定用五篇博客完成。
温馨提示：这个课程不仅适用于 算法设计与分析 的学习，也非常适用于 数学建模 的学习，如果是学习 数学建模的基础部分，前两周的内容是非常适合的，如果要进一步学习 建模思想，建议把这十周视频好好看一遍。( •̀ ω •́ )y
我们还是先来看一下这十周视频的思维导图：
在这篇博客中写的是九、十周的内容：回溯与分支限界。
第九周
回溯算法的例子
4 后问题：
搜索空间：4叉树。
0-1 背包问题：
搜索空间：子集树，有 2^n 片树叶。
货郎问题：
搜索空间：排列数，有 (n-1)! 片树叶。
上面三个例子的共同点：解都是向量。
搜索空间在上面已经说明，树的结点对应于部分向量，可行解是叶结点。
搜索方法：深度优先，宽度优先，跳越式遍历搜索树等。
回溯算法的设计思想和适用条件
深度与宽度优先搜索的例子：
回溯算法基本思想：
（1）适用：求解搜索问题和优化问题。
（2）搜索空间：树，结点对应部分解向量，可行解在树叶上。
（3）搜索过程：采用系统的方法隐含遍历搜索树。
（4）搜索策略：深度优先，宽度优先，函数优先，宽深结合等。
（5）结点分支判定条件：满足约束条件——分支扩张解向量，不满足约束条件，回溯到该结点的父结点。
（6）结点状态：动态生成
（7）存储：当前路径
回溯算法的适用条件：多米诺性质
回溯算法的设计步骤：
回溯算法实现及实例
回溯算法的实现：递归实现、迭代实现
实例：装载问题
最坏情况下时间复杂度 O(2^n)。
图的着色
着色问题的描述
着色问题的算法设计
时间复杂度及改进途径
着色问题的应用
搜索树结点数的估计
Monte Carlo 方法
目的：估计搜索树真正访问结点数
步骤：
随机抽样，选择一条路径，用这条路径代替其他路径，
逐层累加树的结点数，多次选择，取结点数的平均值。
第十周
分支限界
分支限界适用于组合优化问题。
对结点<x1，x2，…，xk>定义代价函数，对当前结点为根子树的可行解的上界或下界（极大化问题与极小化问题的区别）
定义界的初值
得到新的更好的可行解就更新界。
组合优化问题的相关概念：
目标函数（极大化或极小化）
约束条件（解满足的条件）
可行解：搜索空间满足约束条件的解
最优解：使得目标函数达到极大（或极小）的可行解
代价函数：
计算位置：搜索树的结点
值：极大化问题是以该点为根的子树所有可行解的值的上界（极小化问题为下界）
性质：对极大化问题父结点代价不小于子结点的代价（极小化问题相反）
界：
含义：当前得到可行解的目标函数的最大值（极小化问题相反）
初值：极大化问题的初值为0（极小化问题为最大值）
更新：得到更好的可行解时
分支限界：
停止分支回溯父结点的依据：
（1）不满足约束条件
（2）对于极大化问题，代价函数值小于当前界（对于极小化问题是大于界）
界的更新：
对极大化问题，如果一个新的可行解的优化函数值大于（极小化问题为小于）当前的界，则界更新为该可行解的值。
最大团问题
最大团问题的定义；
最大团与点独立集的关系；
分支限界算法的设计
树的结构：子集树
分支约束条件
代价函数与界的设定
最坏情况的时间复杂度：O(n2^n)
货郎问题
货郎问题的分支限界算法：
约束条件：只能选没有走过的结点
代价函数：走过的长度+后续长度的下界
时间复杂度：O(n!)
圆排列问题
圆排列问题的定义
如何设计代价函数：已有的排列长度+后续的圆排列长度的下界
时间复杂度估计：O((n+1)!)
连续邮资问题
九、十周小结
1.回溯法适用于求解组合搜索问题及优化问题。
2.求解条件：满足多米诺性质。
3.解的表示：解向量，求解是不断扩充解向量的过程。
4.回溯条件：
搜索问题——约束条件
优化问题——约束条件+代价函数
5.分支策略：深度优先、宽度优先、宽深结合、函数优先。
6.结点状态
7.算法时间复杂度：W(n) = ( p(n)f(n) )
其中，p(n) 为每个结点的工作量，f(n) 为结点个数。
最坏情况下时间通常为指数级，平均情况下比蛮力算法好，空间代价小。、
8.降低时间复杂性的主要途径：
（1）根据树的分支设计优先策略，结点少分支优先，解多分支优先；
（2）利用搜索树的对称性裁剪子树；
（3）分解为子问题，若求解时间 f(n) = c2^n，
组合时间为 O( 2^(n/k) ) ，分解为 k 个 n/k 规模子问题，则该算法时间为
T(n) = kc2^(n/k) + O( 2^(n/k) ) = O( 2^(n/k) ) = o(2^n)
课程总结
基础知识
函数的阶、序列求和、递推方程求解、算法设计技术
分治策略
适用条件：归约为独立求解子问题。
设计步骤：归约方法，初始子问题的计算，子问题解的综合方法。
注意子问题划分均衡，类型相同。
递归算法分析：求解递推方程。
改进途径：减少子问题数，预处理。
典型问题：二分检索，归并排序，芯片测试，幂乘，矩阵乘法，最临近点对，多项式求值。
动态规划
适用条件：优化问题，多步判断求解，满足优化原则，子问题重叠。
设计步骤：确定子问题边界，列关于目标函数的递推方程及初值；自底向上，备忘录存储；标记函数及解的追踪方法。
复杂度分析：备忘录，递推方程。
典型问题：矩阵链相乘、投资、背包、最长公共子序列、图像压缩、最大子段和、最优二分检索树、生物信息学应用。
贪心法
适用条件：组合优化问题，多步判断求解，有贪心选择性质。
设计步骤：局部优化策略的确定及算法正确性证明（直接证明、数学归纳法、交换论证）
复杂度分析
典型问题：活动选择、装载问题、最小延迟调度、最优前缀码、最小生成树、单源最短路。
回溯和分支限界
适用条件：搜索或优化问题，多步判断求解、满足多米诺性质。
设计步骤：确定解向量、搜索树结构、搜索顺序、结点分支搜索的约束条件与代价函数、路径存储。
搜索树结点数估计
复杂度分析
典型问题：n后问题、背包问题、货郎问题、装载问题、最大团问题，圆排列问题，连续邮资问题。
算法设计
设计思想：尽量选复杂度低的算法
算法实现依赖于数据结构，选择合适的数据结构
实际问题中的综合考虑：时空权衡、实现成本的权衡…