堆|数据结构

树

概念及结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

树状结构对于每一个节点的关系都必须是严格要求的，可以通过我们自己熟知的人类血缘关系来进行了解

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

可以画图进行一个树分析，树结构有了一个直观认识。但是在计算机的世界中树实现却不是以如此直观方式进行数据存储，可以将数据用一个容器进行数据管理，在数据结构中比较常见容器就是数组还有链表结构。各自有自己优势数据管理可以实现一定空间上的优势。

二叉树

概念：一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
或者为空。 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成 。
二叉树不存在度大于2的结点， 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

比较特殊的二叉树，还有满二叉树，完全二叉树。这俩种树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k-1，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

在树的结构中关系图就是树->二叉树->完全二叉树->满二叉树。依次是结构的特殊化。其中任意二叉数的叶子结点数量比度为2节点数量多一个。还可以根据节点数进行满二叉树深度计算（根节点是1），满二叉树节点为n，深度就是log以2为底，n+1为对数。如果根节点为1，第i层节点数为2^(i-1)。深度为k，则总节点个数为2^k-1。

二叉树存储

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储 顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

2. 链式存储
   二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。

堆

它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

大堆就是数组父节点大于子结点，小堆就是父节点小于子节点。
父节点与子节点关系

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

在完全二叉树中，右孩子存在则左孩子一定存在。

堆的创建

堆虽然底层是数组，但是数组不一定是堆。所以堆创建时还需要注意是大堆还是小堆。所以堆的创建还需要实现一个堆的算法。可以借助数组的增删来实现一个堆的底层算法。如果插入数据需要从后向前去比较。通过图面就是从下向上调整，就是向上调整算法。数据尾插后还需要保持原来数据堆，需要进行比较。所以需要进行从后面向前依次比较但是比较时，大堆需要一个根节点比较俩次在左右孩子存在情况下。向下调整需要依次实现数据比较，数据比较时需要先知道孩子中较大孩子数，然后比较父节点。进行交换。可以使用俩个建堆思想，可以从时间复杂度进行分析。

通过计算就可以知道向下调整建堆时间复杂度是O(n)，向上调整时间复杂度O(n+nlogk).所以建堆时，我们选择向下调整建堆算法。但是在进行堆数据插入时又不得不采用向上调整算法。

向下调整思想

比较父节点与子节点值大小，父节点值可以根据实际堆的类型进行判断。实现时需要比较左右孩子值。然后按照建堆要求进行交换。

void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
    
    
	int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子大
	
	while (child <n)
	{
    
    
		//选取大孩子,防止越界
		if (a[child + 1] > a[child] && child + 1 < n)
		{
    
    
			++child;
		}
		//小堆实现
		
		if (a[parent] > a[child] )
		{
    
    
			swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
    
    
			break;
		}
	}
	
}

向上调整思想

这里同向下调整算法实现相反。但是逻辑大同小异。

void AdjustUp(HPDataType*arr,HPDataType child)
{
    
    
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
    
    
		if (arr[parent] < arr[child])
		{
    
    
			swap(&arr[parent],&arr[child]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
    
    
			break;
		}
	}

}