数据结构 —— 堆

堆

“堆”（Heap），实际上就是一种特殊的树。

什么样的树才是堆？需要满足两个条件

一、 堆是一个完全二叉树；

二、 堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值（也可以说是其左右节点的值）。

大顶堆

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作“大顶堆”。

小顶堆

对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作“小顶堆”。

如图，1和2就是大顶堆，3是小顶堆，4不是堆，因为4不是一个完全二叉树

如何储存一个堆

因为堆是一棵完全二叉树，完全二叉树比较适合用数组来存储。

因为我们不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。

用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。 

数组中下标为 i 的节点的左子节点，就是下标为 i∗2 的节点，右子节点就是下标为 i∗2+1 的节点，父节点就是下标为 i/2 的节点。

 

堆化

当我们在堆中插入或删除元素，倒置堆不再符合堆的特性时，需要进行调整，让其重新满足堆的特性，这个过程就是堆化。

堆化分为两种，从上往下和从下往上。

堆的核心操作

往堆中插入一个元素

我们让新插入的节点与父节点对比大小。如果不满足子节点小于等于父节点的大小关系，我们就互换两个节点。

一直重复这个过程，直到堆化的完成。这是一个典型的从下往上的堆化方法。

删除堆顶元素

堆顶元素是比较特殊的，根据堆的定义，堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或者最小值。

假设是大顶堆，删除了最大的元素，就要将第二大的元素放置在堆顶。

如果像插入元素一样比较交换的话，会出现问题。

问题就是就是最后堆化出来的堆并不满足完全二叉树的特性。

为了解决这个问题，需要改变思路。

我们把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。

对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。

为了避免这种数组空洞的问题，所以我们移除数组中的最后一个元素。这种方法堆化之后的结果，肯定满足完全二叉树的特性。

利用这个方法，在堆化的过程中，都是交换操作，不会出现数组中的“空洞”。（可以理解成把空洞放置在数组末尾）

这是一个典型的从上往下堆化的过程。

堆操作的代码实现

public class Heap {
  private int[] a; // 数组，从下标1开始存储数据
  private int n;  // 堆可以存储的最大数据个数
  private int count; // 堆中已经存储的数据个数

  public Heap(int capacity) {
    a = new int[capacity + 1];
    n = capacity;
    count = 0;
  }

  public void insert(int data) {
    if (count >= n) return; // 堆满了
    ++count;
    a[count] = data;
    int i = count;
    while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) { // 自下往上堆化
      swap(a, i, i/2); // swap()函数作用：交换下标为i和i/2的两个元素
      i = i/2;
    }
  }
 }


public void removeMax() {
  if (count == 0) return -1; // 堆中没有数据
  a[1] = a[count];
  --count;
  heapify(a, count, 1);
}

private void heapify(int[] a, int n, int i) { // 自上往下堆化
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }
}

堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比。

包含 n 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 log n。

插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 O(logn)。