叉乘在图形学中的几何意义 ---- 判断一个点是否在三角形内

1 叉乘是什么

先简单介绍一下叉乘(cross product)：

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$，其结果，还是一个向量。
其方向，符合右手螺旋定则（右手手指头从a转向b，看大拇指指向哪里）;
其模，等于$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin\theta$ (其实就是a和b组成的平行四边形面积)

也可以直接用下面的式子表示：
$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|=(a_{y}bz-a_z{b}_y)\overrightarrow{i}+(a_z{b}_x-z_x{b}_z)\overrightarrow{j}+(a_x{b}_y-a_y{b}_x)\overrightarrow{k}$$
其中，$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$是3个轴的单位向量。
他的重要性质：
$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}$

2 几何意义

在图形学中，向量的叉乘主要用于计算两个向量所在平面的法向量，以及计算出相机朝向和物体朝向之间的旋转轴，具体应用包括：

1. 计算表面法向量：通过计算两个相邻的三角形的法向量来得到表面法向量，可以用于光照计算和渲染中的纹理映射等。

2. 计算相机朝向和物体朝向之间的旋转轴：在相机跟随和相机旋转等操作中使用。

3. 计算三角形面积：通过向量叉积的模长可以计算三角形面积，可以用于计算多边形的面积和法向量。

4. 计算向量夹角：通过向量叉积的模长和点积的结果可以计算向量之间的夹角，可以用于计算光源和物体的夹角以及阴影的计算等。

5. 判断一个点是否在三角形内

下文针对5，具体讲一下如何使用。

3 使用例子- 判断一个点是否在三角形内

3.1 使用背景

判断一个点，是否在三角形内，有什么用途呢？一个经典的用途是，在光栅化阶段，GPU会去挨个处理每个像素，应该显示什么数据，或者说，显示哪个三角形面的数据。
咱们来最简化的描述这个过程：
假色我们的3D画面非常简单，只有4个顶点，即2个三角形，映射到屏幕上，如下图所示

现在开始扫描每个像素该显示啥。方法就是，判断是否在2个三角形内，如果不在，就显示默认色了，如果在，就采样三角形的对应纹理色值。
所以，现在的问题，就可以归纳为一个函数：
isInTringle(Trangle tr)

3.2 如何判断

请看下面一组图，Q点在三角形内，可以看看有什么规律：

向量P1P2与P1Q，右手螺旋定则，朝外；
向量P2P3与P2Q，右手螺旋定则，朝外；
向量P3P1与P3Q，右手螺旋定则，朝外；

再看一组图，Q点在三角形外：

向量P1P2与P1Q，右手螺旋定则，朝内；
向量P2P3与P2Q，右手螺旋定则，朝外；
向量P3P1与P3Q，右手螺旋定则，朝外；

极端情况，如果Q刚好在三角形的边上，例如P1P2的边上，那么，向量P1P2与P1Q为同方向，螺旋定则芭比Q了，找不到z轴方向，即，z值为0。

结论：只要计算三次叉乘，如果z值有一个为0，则在三角形边上； 如果z值正负一致，则在里面；如果z值正负不一致，则在外面

3.3 代码实现

从第一节可知，计算叉乘的$z$值，很简单，为
$(a_x{b}_y-a_y{b}_x)$
所以，从程序上，可以非常简单的实现了，我们来写个python：

#!/usr/bin/python

#这是一个判断一个点是否在三角形内的例子


print("Hello, World! Let's do some test");

def check_signs(a, b, c):
    """
    判断三个浮点数的符号
    :param a: 第一个浮点数
    :param b: 第二个浮点数
    :param c: 第三个浮点数
    :return: True 如果三个数都为正数或都为负数，True 否则False
    """
    if a > 0 and b > 0 and c > 0:
        return True
    if a < 0 and b < 0 and c < 0:
        return True
    return False

def cal_z_value(v1, v2):
    """
    计算2个三维向量，叉乘的z值
    """
    return v1[0] * v2[1] - v1[1]* v2[0]

def subtract_vectors(vector1, vector2):
    """
    计算两个三维向量的差向量
    :param vector1: 第一个向量，格式为 [x, y, z]
    :param vector2: 第二个向量，格式为 [x, y, z]
    :return: 差向量，格式为 [x, y, z]
    """
    x = vector1[0] - vector2[0]
    y = vector1[1] - vector2[1]
    z = vector1[2] - vector2[2]
    return [x, y, z]

def is_point_in_triangle(p1, p2, p3, q):
    """
    判断一个点是否在某个三角形内
    """
    p1_q = subtract_vectors(q, p1)
    p1_p2 = subtract_vectors(p2, p1)
    z1 = cal_z_value(p1_p2, p1_q)

    p2_q = subtract_vectors(q, p2)
    p2_p3 = subtract_vectors(p3, p2)
    z2 = cal_z_value(p2_p3, p2_q)

    p3_q = subtract_vectors(q, p3)
    p3_p1 = subtract_vectors(p1, p3)
    z3 = cal_z_value(p3_p1, p3_q)

    print("z1 ",z1)
    print("z2 ",z2)
    print("z3 ",z3)
    return check_signs(z1, z2, z3)

"""
p1=[0, 0, 0]
p2=[0.5, 0.5, 0]
p3=[0.5, 1, 0]
q=[0.25, 0.5, 0]
"""

#测试代码
p1=[0, 0, 0]
p2=[1, 0, 0]
p3=[0.5, 1, 0]
q=[0.25, 0.35, 0]

result = is_point_in_triangle(p1, p2, p3, q)
print("result ",result)