汉诺塔问题
问题描述
相传在古印度圣庙中，有一种被称为汉诺塔(Hanoi)的游戏。该游戏是在一块铜板装置上，有三根杆(编号A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按顺序放置64个金盘。游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并仍保持原有顺序叠好。操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上。
输入格式
输入数据为一个正整数，表示当前有n个金盘。
输出格式
输出为多行。
第一行为一个正整数w，表示将这n个金盘从A杆移动到C杆的最小步骤数。
接下来为w行，每行的格式为“from x to y”。其中x和y为A、B、C其中之一。
输入样例
2
输出样例
3
from A to B
from A to C
from B to C
算法分析
汉诺塔问题是理解分治算法最经典的一道题。根据分治算法的思想，第一步我们必须对原问题进行分解。在此之前，对大家进行一个提问：
把大象装进冰箱需要几步？
答案是：三步。打开冰箱门、把大象装进去、关闭冰箱门。
现在我要告诉你，求解汉诺塔问题也是三步。根据汉诺塔游戏的机制我们知道，必须先将第n个盘子移动到C杆上。但如果直接将第n个盘子移动到目标位置又是不行的，因为在这第n个盘子前还有n-1个盘子。此时，我们可以假设有一个函数function()，它可以帮我们将前面n-1个盘子移动到除目标位置以及起始位置外的那个杆子处（即B杆）。这样一来，我们就只需要做一件工作，将第n个盘子移动到C杆上。还没结束！因为我们还需要将刚才放到B杆上的前n-1层盘子也放到C杆上。即：
① 移走前n-1层盘子；
② 将第n层盘子移至目标位置；
③ 将前n-1层盘子移至目标位置。
接下来，当我们接手“搬第n-1层到C杆”这任务时也会面临同样的问题——前面的n-2层怎么办？一样的，交给函数function()，他会负责将前面n-2层搬到除目标位置以及起始位置外的那个杆子处（即A杆），此时，我们同样只需要将第n-1个盘子移动到C杆，并将前n-2层盘子也移至C杆即可……以此类推，层层划分下去，最终总会有一个人接到“搬第1层”的任务。第1层怎么搬？很简单，你想搬到哪儿就般到哪儿。换句话说，到这一步就不能再分了，这里可以直接给出答案。
现在我们把重心放在函数function()上。对于接到“搬第i层到x杆”这个任务的人而言，他实际上需要关心的问题就3个：我是谁？我在哪儿？要到哪儿去？（哲学的经典三问）。对应到具体的题目中则是：要搬第几层？该层的所在位置？该层的目标位置？而这三个信息对是会随着当前层次的不同而发生改变，因此，这三个信息构成了函数function()的形参表。在函数function()中，当搬运的层次位于第1层时，其无需再划分，而是直接执行。这实际上就是函数function()的返回条件。其余任意层次，则都需要进行划分（实际上，表现在代码中就是递归调用function()自身），划分后就只需要执行三步：外包（移开前n-1层）、做自己的活、外包（处理前n-1层）。最后，对于任意输入，调用该函数即可求解整个问题。
最后，关于汉诺塔问题的执行次数，这其实是一个数学归纳问题：
证：设移动n个圆盘所需的最少步数为F(n)，若要把n个圆盘从A柱移至C柱，则可拆解为如下步骤：
① 将n-1个圆盘从A柱移至B柱，需要F(n−1)步；
② 将余下的最大圆盘从A柱移至C柱，需要1步；
③ 将n-1个圆盘从B柱移至C柱，需要F(n−1)步。
于是可得到最少移动步数的递推公式：
F(n) = 2F(n-1) + 1
易知F(1)=1，则可得通项公式：
F(n) = 2F(n-1) + 1 = 22F(n-2) + 2 + 1 = … = 2n-1 + 2n-2 + … + 2 + 1 = 2n-1
下面给出求解本体的完整代码：
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
// n表示当前盘子上还有多少的盘子，a表示初始位置，b表示中间的过渡位置，c表示目标位置
void hanoi(int n,char a,char b,char c)
{
if(n==1) cout<<a<<"->"<<c<<endl; // 如果当前只有1个盘子，就直接移动过去
else{
// 否则：外包、做自己的活、回归
hanoi(n-1,a,c,b); // 外包：首先把当前a位置上的n-1个盘子过渡到b上
cout<<a<<"->"<<c<<endl; // 干自己的活：然后将第n个盘子移动到c上
hanoi(n-1,b,a,c); // 外包： 最后再将前n-1层放在c上
}
}
int main()
{
int n;cin>>n;
cout<<pow(2,n)-1<<endl;
hanoi(n,'A','B','C');
return 0;
}
进阶题目
【洛谷】 P1242 新汉诺塔
问题描述
设有n（n≤45）个大小不等的中空圆盘，按从小到大的顺序从1到n编号。将这n个圆盘任意的迭套在三根立柱上，立柱的编号分别为A、B、C，这个状态称为初始状态。
现在要求找到一种步数最少的移动方案，使得从初始状态转变为目标状态。
移动时有如下要求：
1、一次只能移一个盘；
2、不允许把大盘移到小盘上面。
输入格式
文件第一行是状态中圆盘总数；
第二到第四行分别是初始状态中A、B、C柱上圆盘的个数和从下到上每个圆盘的编号；
第五到第七行分别是目标状态中A、B、C柱上圆盘的个数和从下到上每个圆盘的编号。
输出格式
每行一步移动方案，格式为：move I from P to Q
最后一行输出最少的步数。
样例输入
5
3 3 2 1
2 5 4
0
1 2
3 5 4 3
1 1
样例输出
move 1 from A to B
move 2 from A to C
move 1 from B to C
move 3 from A to B
move 1 from C to B
move 2 from C to A
move 1 from B to C
7
算法分析
本题相较于经典的汉诺塔问题新增加了三个难点：
① 待移动的盘子并不仅仅在某个柱子上，而是离散分布的；
② 盘子移动的目标状态也可能是离散分布的；
③ 求解最优方案（即步数最小的方案）。
这时，由于盘子不仅仅分布于某根柱子上，且目标状态也是离散的，这就使得我们需要设计出一种数据结构来保存这两种状态，并且要求这种数据结构能够参与到算法在执行时的状态更替中。一种很直接的办法是用二维数组来1:1还原。例如，对于样例数据，可以有（设所有的索引都从1开始）：
// 原始状态
original[1][]={“0”, “3”, “2”, “1”}；
original[2][]={“0”, “5”, “4”}；
original[3][]={“0”}；
// 目的状态
target[1][]={“0”, “2” }；
target[2][]={“0”, “5” , “4” , “3”}；
target[3][]={“0”, “1” }；
二维数组的优点是可以很直观地能看到每根柱子上盘子的分布情况，但是缺点很明显。在前面的经典汉诺塔问题中，我们知道每次在划分问题时，目标都是找最大的那个圆盘来进行位置变更。在那种情况下，由于圆盘的初始放置情况仅在一根柱子上，所以递归函数在设计时可以将问题划分为三步：
① 先将当前盘子的前n-1个盘子移至过渡柱子；
② 再移动当前盘子的柱子；
③ 最后将前n-1个盘子移至目的柱子。
这样一来，该递归函数就变得十分简单（只需三步）。在本题中，盘子的放置并不一定满足这样的规则。此时，如果仍然采用1:1还原初始情况的二维数组来作为本题的数据结构，那会使得递归算法的设计变得相当困难（在original[ ]数组中寻找最大盘子只能遍历枚举，浪费时间）。因此，我们必须转变思路，想办法设计一种合理的数据结构来将盘子的离散分布给“屏蔽”掉（这里的屏蔽是指，不关心盘子的分布，而将重点放在“如何去找当前未被放置到正确位置上的最大盘子”）。
试想，如果我们站在盘子的角度，用盘子编号作为数组索引，用数组值来表示该盘子所在的柱子。这样一来我们就可以根据数组索引直接逆序遍历该数组，并进行位置变更。此时，因为盘子编号与其大小相对应（且唯一），则逆序遍历时先遇到的索引就表达着“当前盘子是目前最大的”这一含义（根据贪心的思想，由于题目要求最优解，故每次都需要先安排最大圆盘）。这样一来，我们在设计递归函数时就可以采用和经典汉诺塔问题相似的3步。稍有不同的是，由于本题中盘子的初始和目的状态都是离散的，因此在对我们设计的数组进行递归遍历时，需要用一层外循环来控制遍历过程，达到“屏蔽”盘子离散分布的目的。
下面给出本题的完整代码：
#include<iostream>
using namespace std;
// first[i]，last[i]数组分别存放盘子i所在的初始柱子和目的柱子
int first[50],last[50],ans=0;
// ch[]数组将柱子的编号（A、B、C）转换为数字（1、2、3）
char ch[]={
'0','A','B','C'};
// 编号为n的盘子要去tar柱子
void dfs(int n,int tar)
{
// 初始位置是目标位置则不用移动
if(first[n]==tar) return;
// 先移动编号为1~n-1的这些盘子到除当前盘子所在位置和目标位置之外的第三个位置
// 由于这三个位置的数字代号满足1+2+3=6，因此知道其中任意两个参数便可以求出第三个位置
for(int i=n-1;i>=1;i--) dfs(i,6-first[n]-tar);
// 打印信息
cout<<"move "<<n<<" from "<<ch[first[n]]<<" to "<<ch[tar]<<endl;
//移动之后需要将其位置改变，并且计下步数
first[n]=tar,ans++;
}
int main()
{
int n,m,x;
cin>>n;
// 记录初始状态
for(int i=1;i<=3;i++){
cin>>m;
for(int j=1;j<=m;j++)
cin>>x,first[x]=i;
}
// 记录目标状态
for(int i=1;i<=3;i++) {
cin>>m;
for(int j=1;j<=m;j++)
cin>>x,last[x]=i;
}
// 要求最优解，则最小步数必须是从最大盘子开始（贪心）
for(int i=n;i>=1;i--)
dfs(i,last[i]);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}