本周论文分享带来一篇CVPR2018的论文《Decoupled Networks》。卷积神经网络最基本的操作即是卷积，它本质是通过滑动窗口的方式，通过内积来衡量输入与卷积核之间的相似度。那么内积这种相似度的衡量方式，是否对所有任务都是最好的，还有没有更好的方式？这篇论文从这个点出发，提出了一类新型的卷积运算。
传统卷积
首先来回顾下基本的卷积运算，通过内积的方式来衡量输入的一个滑动窗口x与卷积核k的相似度:
训练一个CNN，将其最后的特征维度设置为2，在MNIST上进行实验，将其特征的分布可视化出来：
从这个图中我们可以观察到：特征的角度差异对应于不同的标签的差异，即类间差异；特征的范数对应着同一类数据不同的样本差异，即类内差异。
传统的CNN可以自然的学习到这两种不同的特征，但是当有两个样本，它们的内积差异较大时，无法确定这种差异是来自于类内差异还是类间差异。那么我们能否将这两部分分别建模呢，本文基于此提出了解耦卷积（Decouple Convolution）的概念。
解耦卷积
对于传统卷积，可以改写为如下形式：
将幅值和角度解耦开来，分别建模，得到解耦卷积的一般形式：
可以看出传统卷积是解耦卷积的特例。
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幅值函数
h(·)和g(·)分别建模类内差异和类间差异，它们可以选择不同形式的函数来表达。下面我们主要来讨论下h(·)的选择。
h(·)是关于两个变量||x||,||w||的函数，设计起来相对复杂。注意到，||w||是卷积核的固有属性，它与卷积核的重要性相关，与类间差异关系不大，因此在设计h(·)时，选择不包括 ||w||，这意味着所有卷积核都是平等的，这相当于对网络加了一个正则，网络在进行特征选择时需要尽可能多的考虑到所有的卷积核，这会使得网络泛化性更好。
Hyperspherical Convolution
下面来讨论一个特殊的例子 Hyperspherical Convolution（SphereConv）， 它的幅值函数形式为：
那么
其中α>0控制输出尺度
由单位超球面上测地距离决定
一般情况下
因此SphereConv输出的值域为[-α,α]
下面来看下这种形式的卷积的学到的特征分布：
从上图的特征分布可以看出，SphereConv丢弃了幅值信息，因而从特征分布上看不出类内的差异，同一类样本都聚集在一个中心附近。从几何上解释，它将输入x和w都投影到单位超球面上，然后基于他们之间的测地距离计算他们的相似度。
除了这种形式，还有其他的，如 ：
这种的输出都是有界的。也可以选择无界的函数，如：
其他形式请参看论文。
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角度激活函数
角度激活函数的设计相对简单，文中给出了以下几种形式：
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幅值函数有界性讨论
当幅值函数有界时，一方便它能够限制网络的Lipschitz常数，使得网络对于对抗样本有更好的鲁棒性[1]；另一方便它对训练时的优化也是有益的[2]。
实验
1、作者在ImageNet上验证DCFNet的有效性。基线模型采用标准的ResNet-18和修改版的ResNet-18，在使用BatchNorm和不使用BatchNorm下，可以看出DCFNet的Top-5 的错误率都更低，并且修改的ResNet-18在不使用BatchNorm无法收敛。
2、对于对抗样本的攻击，DCFNet也表现出更好的鲁棒性。下表为使用黑盒攻击在CIFAR-10上训练的模型，不同模型准确率的情况。上面三行为传统卷积，下面三行为DCFNet。可以看出DCFNet在面对对抗样本时，性能更加稳定，鲁棒性更强。
参考文献
[1].M. Hein and M. Andriushchenko. Formal guarantees on the robustness of a classifier against adversarial manipulation. In NIPS, 2017
[2].Santurkar,Shibani, et al. "How Does Batch Normalization Help Optimization?(No,It Is Not About Internal Covariate Shift)."arXiv preprint arXiv:1805.11604 (2018).
论文地址：
http://openaccess.thecvf.com/content_cvpr_2018/papers/Liu_Decoupled_Networks_CVPR_2018_paper.pdf
代码：
https://github.com/wy1iu/DCNets