B2092 开关灯 【入门】

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开关灯

题目描述

假设有 $N$ 盏灯（$N$ 为不大于 $5000$ 的正整数），从 $1$ 到 $N$ 按顺序依次编号，初始时全部处于开启状态；第一个人（$1$ 号）将灯全部关闭，第二个人（$2$ 号）将编号为 $2$ 的倍数的灯打开，第三个人（$3$ 号）将编号为 $3$ 的倍数的灯做相反处理（即，将打开的灯关闭，将关闭的灯打开）。依照编号递增顺序，以后的人都和 $3$ 号一样，将凡是自己编号倍数的灯做相反处理。问当第 $N$ 个人操作完之后，有哪些灯是关闭着的？

输入格式

输入为一行，一个整数 $N$，为灯的数量。

输出格式

输出为一行，按顺序输出关着的灯的编号。编号与编号之间间隔一个空格。

样例 #1

样例输入 #1

10

样例输出 #1

1 4 9

样例 #2

样例输入 #2

5

样例输出 #2

1 4

思路：
一开始所有灯都是亮的，如果要最后是关着的话，那么这个灯在整个过程中应该被开关奇数次，所以满足最后是关闭状态的灯，它的因子应该是奇数个，又因为完全平方数的因子是奇数个（这是一个定理，已经确定的），那么我们只需要找从1到n中有哪些数是完全平方数，那么最后这些灯就是关闭状态的。

为什么完全平方数的因子个数是奇数个

因为对于一个数x来说，存在因数m，必然存在另一个因数x/m，两个一对，而完全平方数的平方根对应的因数又是本身自己，所以一共有奇数个因子。

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
import java.util.*;

public class Main {
    
    
    public static void main(String[] args) {
    
    
        Scanner in=new Scanner(System.in);
        int n=in.nextInt();
        for(int i=1;i<=n;++i){
    
    
            if(i*i<=n)
                System.out.print(i*i+" ");
        }
    }
}