「Codeforces」C. Inversion Graph

C. Inversion Graph

https://codeforces.com/contest/1638/problem/C

题目描述

给你一个序列，找到所有逆序对 $a_i, a_j)$ 并将它们连接起来，求连通块个数。

输入描述

每个测试包含多个测试用例。第一行包含一个整数 t (1≤t≤10⁵)——测试用例的数量。测试用例的描述如下。

每个测试用例的第一行包含一个整数 n (1≤n≤10⁵) — 排列的长度。

每个测试用例的第二行包含 n 个整数 p1,p2,…,pn (1≤p_i≤n) — 排列的元素。

保证所有测试用例的 n 之和不超过 2×10⁵。

输出描述

连通块个数

样例

#1

6
3
1 2 3
5
2 1 4 3 5
6
6 1 4 2 5 3
1
1
6
3 2 1 6 5 4
5
3 1 5 2 4

每个单独的测试用例如下图所示。彩色方块代表排列的元素。对于一个排列，每种颜色代表一些连通分量。不同颜色的数量就是答案。

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提示

解析

观察上面样例的图，可以得知如下信息：

连通块的最大值一定大于右边的数（根据逆序对的特性可知）。
若某个数属于某个连通块，那么这个数一定小于该连通块的最大值。
若某个数大于左边的所有数（这也意味着左边的数无法与该数相连），则该数是一个新的连通块。

有上面的几个信息，我们知道只需要维护最大值就可以了，简单来说就是“大于该数的就是新的连通块，小于该数的则连接该连通块”，因此我们只需要维护最大值就行，如何维护？

我们可以使用单调栈维护（自顶向下为从大到小），只需要存储最大值就行，最后栈内剩余的数量即为连通块的数量。

以 $[3, 1, 5, 2, 4]$ 为例： $\rightarrow [3] \rightarrow [3, 5] \rightarrow [5] \rightarrow [5]$

栈为空，入栈 3，得 $[3]$ 。
栈 $[3]$ ，因为 $1 < 3$ ，所以 1 是属于 3 的连通块。
栈 $[3]$ ，因为 $5 > 3$ ，所以 5 是新的连通块，得到 $[3, 5]$ 。
栈 $[3, 5]$ ，因为 $2 < 5$ 和 $2 < 3$ ，表示 2 即使属于 5 的连通块，也是属于 3 的连通块，所以 3 也属于 5 的连通块。

这也是维护时需要注意的点：判断一个数是不是属于当前连通块的时候，如果是，则还需要判断是否也属于前面的连通块。

单调栈是否一定保证为单调递增（自底向上为从小到大）？

答：一定，因为若数小于栈顶即不属于当前连通块，就不入栈，若大于栈顶，则是新的连通块，会入栈。

AC Code

public class Main {
    
    
    static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    static StreamTokenizer st = new StreamTokenizer(br);
    static PrintWriter out = new PrintWriter(new BufferedOutputStream(System.out));

    public static void main(String[] args) throws Exception {
    
    
        int T = nextInt();
        while(T-- != 0) {
    
    
            int n = nextInt();
            Stack<Integer> stack = new Stack<>();
            for(int i = 0; i < n; i++) {
    
    
                int x = nextInt();
                if(stack.isEmpty()) {
    
    
                    stack.push(x);
                    continue;
                }
                if(x < stack.peek()) {
    
     // 数小于栈顶，意为属于该连通块
                    int top = stack.peek(); // 保留最大连通块的值
                    // 判断是否也属于前面的连通块
                    while(!stack.isEmpty() && stack.peek() > x) stack.pop();
                    stack.push(top);
                } else {
    
    
                    stack.push(x); // 这是新的连通块
                }
            }
            out.println(stack.size());
        }
        out.flush();
    }

    public static int nextInt() throws Exception {
    
    
        st.nextToken();
        return (int) st.nval;
    }
}