0、概念
0.1、定义
回溯法（back tracking）（探索与回溯法）是一种选优搜索法，又称为试探法。按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回到上一步，重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
0.2、应用
「回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯」，所以回溯法也经常和二叉树遍历，深度优先搜索混在一起，因为这两种方式都是用了递归，回溯法就是暴力搜索，并不是什么高效的算法，最多再剪枝一下。
回溯算法能解决如下问题：
- 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
- 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
- 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
- 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
- 棋盘问题：N皇后，解数独等等
0.3、思路
解决一个回溯问题，实际上就是一个决策树的遍历过程，需要考虑下面三个环节：
1、路径：也就是已经做出的选择。
2、选择列表：也就是你当前可以做的选择。
3、结束条件：也就是到达决策树底层，无法再做选择的条件。
1、与枚举法的关系
1.1、联系
我是这么人为的，回溯算法是枚举算法的特列，相当于在枚举过程加了限定条件（约束函数和限界函数），大大简化了枚举过程中重复的数据。
1.2、区别
区别是：枚举相当于暴力破解的范畴，在复杂数据求解过程是最简单的想法，回溯在求解过程会裁剪。
2、例子
2.1、八皇后问题
八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后（棋子），使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。
解法如下：
#include<iostream>
#include<Math.h>
using namespace std;
int count=0;//解法个数
bool is_ok(int row,int *queen){
//判断设置的皇后是否在同一行，同一列，或者同一斜线上
for (int j=0;j<row;j++)
{
if (queen[row]==queen[j]||abs(row-j)==abs(queen[row]-queen[j]))
return false;
}
return true;
}
void back_tracking(int n,int *queen,int row=0) //算法函数，从第0行开始遍历
{
if (row==n){
//表示放完了n个皇后
count++;//记录解法个数
cout<<endl;
for(int i=n-1;i>=0;i--){
cout<<queen[i]<<" ";
}
return;
}
//判断若遍历完成，就进行计数
for (int col=0;col<n;col++) //遍历棋盘每一列
{
queen[row] = col; //将皇后的位置记录在数组
if (is_ok(row,queen)) //判断皇后的位置是否有冲突
back_tracking(n,queen,row+1); //递归，计算下一个皇后的位置
}
}
int main(){
int n;
cout<<"输入皇后数量：";
cin>>n;
int queen[100]={
-1};//皇后默认8个
back_tracking(n,queen,0) ;
cout<<"总解法"<<count<<endl;
return 0;
}
有上述还可以引申为 ：解数独。
2.2、货物装载
最简单的装载问题 描述： 给定n个货物、每个货物重量为Wi，一艘船的载货总重量为W。问如何选择货物装载使得船尽可能多的装载货物而不翻船？ 输入：货物数量n，每个货物的重量 输出：选择的货物i、最大的货物装载量。
这里的约束函数和限界函数要怎么确定决定了算法的效率问题，这也是比穷举、枚举法厉害的地步。
代码如下（示例）：
int cw=0;//表示当前船上装的货物重量
int bestw=0;//能装载的最大货物重量
int bestx[100]={
0}; //记录所装货物
void Backtrack(int t,int *w,int W,int n,int r,int *x){
//t表示层级，w表示货物的重量，W表示船最大载重，n输入的货物数
//r表示剩余货物的重量 ,x[i]表示货物装不装
if(t>n-1){
//已经搜索到末尾
if(cw>bestw&&cw<=W){
bestw=cw;//最大的重量记录
for(int i=0;i<n;i++){
bestx[i]=x[i];
}
}
return;
}else{
r=r-w[t];//已经访问该货物了。它不属于剩下的物品了
if(cw<W){
//还能装下货物
x[t]=1 ;
cw=cw+w[t];//装、左子树
Backtrack(t+1,w,W,n,r,x);
cw=cw-w[t];//不装、右子树 cw之前添加了w，必须减回去
}
if(r+cw>bestw)//有希望
{
x[t]=0;
Backtrack(t+1,w,W,n,r,x);
}
r=r+w[t];
}
}
int main(){
int n,W;
cout<<"请输入n件货物及船的最大载重量W:";
cin>>n>>W;
int w[n];
cout<<"请输入"<<n<<"件物品的重量:";
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>w[i];
}
Backtrack(0,w,W,n);
cout<<"最大能装载货量为："<<bestw;
return 0;
}
3、总结
3.1 总结模板
一般模板如下：
def dfs(输入):
if 当前状态为边界：
记录或输出
return
for i in range(len(输入))：#横向遍历所有子节点
目前遍历的当前子节点
if 子状态满足约束条件：
dfs(子状态)