回溯算法的设计思想和适用条件

分治算法、动态规划、贪心算法和回溯算法这些策略都是思想，它们有自己适合的问题域，回溯算法适合的问题：解是向量的形式，这个过程中不断的扩张向量，并且做跳跃式的遍历，中间需要做回溯判定，同时要对约束条件作判定，以下对回溯算法的设计思想和适用条件进行总结。

一、问题分析

问题	解性质	解描述向量	搜索空间	搜索方式	约束条件
n后	可行解	$$<x_1,x_2,\dots ,x_n>，x_i：第i行列号$$	n叉树	深度，宽度优先	彼此不攻击
0-1背包	最优解	$$<x_1,x_2,\dots ,x_n>，x_i=0,1，x_i=1\iff 选i$$	子集树	深度，宽度优先	不超背包重量
货郎	最优解	$$<i_1=1,i_2,\dots ,i_n>，1,2,\dots ,n的排列$$	排列树	深度，宽度优先	选没有经过的城市
特点	搜索解	向量，不断扩张部分向量	树	跳跃式遍历	约束条件回溯判定

二、深度与宽度优先搜索

1、深度优先访问顺序：

1→2→3→5→8→9→6→7→4

2、宽度优先访问顺序：

1→2→3→4→5→6 →7→8→9

三、回溯算法基本思想

回溯算法适合求解优化问题，很多问题都可以转化为优化问题来做，而优化问题又可以用现代的智能优化算法，或者使用机器学习的算法求一个近似解。

1、适用：

求解搜索问题和优化问题

2、搜索空间：

树，结点对应部分解向量，可行解在树叶上

3、 搜索过程：

采用系统的方法隐含遍历搜索树

4、搜索策略：

深度优先，宽度优先，函数优先，宽深结合等

5、结点分支判定条件：

满足约束条件—分支扩张解向量
不满足约束条件，回溯到该结点的父结点

6、 结点状态：

动态生成白结点(尚未访问)
灰结点(正在访问该结点为根的子树)
黑结点(该结点为根的子树遍历完成)

7、存储：

当前路径

三、结点状态

在遍历的时候，比如皇后问题里面的摆放，访问的次序，已经访问的，访问结束的，还没有访问的，有不同的颜色。

1、深度优先访问次序：

1→2→3→5→8

2、已完成访问：

2, 8

3、已访问但未结束：

1, 3, 5

4、尚未访问：

9, 6, 7, 4

四、回溯算法的适用条件

回溯算法的条件是部分向量和整体向量之间的关系，比如皇后问题，前面摆放皇后的时候产生了冲突，其实在往后扩张向量是没有意义的，这样的叫做多米诺性质，也就是说向量已经不满足条件了，以皇后问题理解，就是前面的k个皇后已经产生冲突了，下面没有必要在继续做了；如果前面k个物品装入背包已经超过物品的总重量了，那就是打破约束条件不满足了，接下来再往背包里装物品也没有必要了。

1、适用条件

在结点$$<x_1,x_2,...,x_k>处$$ $$P(x_1,x_2,\dots ,x_k)为真$$

⇔$$向量<x_1,x_2,\dots ,x_k>$$满足某个性质
(n后中k个皇后放在彼此不攻击的位置）

2、多米诺性质：

$$P(x_1,x_2,\dots ,x_k+1)\to P(x_1,x_2,\dots ,x_k)0<k<n$$

$$\neg P(x1,x2,\dots ,xk)\to \neg P(x1,x2,\dots ,xk+1)0<k<nk维向量不满足约束条件，扩张向量到k+1维仍旧不满足，可以回溯$$