回溯法：
- 思想：走不通退回走别的路
在包含问题的所有解的空间树中，按照深度优先搜索策略，从根节点出发搜索解空间树。
活结点：自身已生成但其孩子结点没有全部生成的结点
扩展结点：指正在产生孩子结点的结点，E结点
死结点：指其所有结点均已产生的节点
首先根节点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点
在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前扩展结点处不能在向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个结点成为当前可扩展结点。
回溯法：以这种方式递归地在解空间中搜索，直到找到所有要求的解或解空间中已无活结点为止。
当从状态si搜索到s i+1后，s i+1变为死结点，则从状态s i+1回退到si，再从si找其他可能路径
若用回溯法求问题的所有解，需要回溯到根节点，且根节点的所有可行子树都已被搜索完才结束。若用回溯法求问题的任一解，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
由于采用回溯法求解时存在退回到祖先结点的过程，所以需要保存搜索过的结点。通常有两种方法，
其一是用自定义栈保存祖先结点；
其二是采用递归法，因为递归调用会将祖先结点保存到系统栈中，在递归调用返回时自动回退到祖先结点。
另外，用回溯法搜索解空间时通常采用两种策略避免无效搜索，以提高回溯的搜索效率，
法一：用约束函数在扩展结点处减除不满足约束条件的路径；
法二：用限界函数减去得不到的问题解或最优解的路径
上述两种方法统称剪枝函数。
- 回溯法解题步骤：
1.针对对给定的问题的解空间树，问题的解空间树应至少包含问题的一个解或者最优解。
2.确定结点的扩展搜索规则
3.以深度优先方式搜索解空间树，并在搜索过程中可以采用剪枝函数来避免无效搜索。其中，深度优先方式可以选择递归回溯或者迭代（非递归）回溯。
回溯法的算法框架及其应用
设问题的解是一个n维向量（x1，x2，…,xn），约束条件是Xi满足某种条件，记为constraint(Xi)；限界函数是Xi应满足某种条件，记为bound（Xi），回溯法的算法通常分为非递归回溯框架和递归回溯框架
- 1.非递归回溯框架
i：对应解空间的第i层的某个结点
int x[n]; //x存放解向量，全局变量
void backtrack(int n){
//非递归框架
int i=1; //根节点层次为1
while(i>=1) //尚未回溯到头
{
if(ExistSubnode(t)) //当前结点存在子节点
{
for(j=下界;j<=上界;j++){
//对于子集数，j从0到1循环
x[i]取一个可能的值;
if(constraint(i)&&bound(i)) //x[i]满足约束条件或界限函数
{
if(x是一个可行解)
输出x;
else
i++; //进入下一层次
}
}
}
else //不存在子结点，返回上一层，即回溯
i--;
}
}
- 2.递归回溯框架
回溯法是对解空间的深度优先搜索，因为递归算法中的形参具有自动回退（回溯）的能力，所有许多回溯设计的算法都设计成递归算法，比同样的非递归算法设计起来更加简便。
其中，i为搜索的层次（深度），通常从0或1开始，分两种情况：
（1）解空间为子集树
一般地，解空间为子集树的递归回溯框架如下：
int x[n]; //x存放解向量，全局变量
void backtrack(int n){
//求解子集树递归框架
if(i>n)
输出结果；
else
{
for(j=下界;j<=上界;j++) //用j枚举i的所有可能路径
{
x[i]=j; //产生一个可能的解分量
... //其他操作
if(constraint(i)&&bound(i))
backtrack(i+1); //满足约束条件和限界函数，继续一下层
}
}
}
采用上述算法框架需注意以下几点：
（1）i从1开始调用上述回溯算法框架，此时根结点为第1层，叶子结点为第n+1层，当然i也可以从0开始，这样根结点为第0层，叶子结点为第n层，所以需要将上述代码中的
if(i>n)
改为
if(i>=n)
（2）在上述框架中通过for循环使用j枚举i的所有可能路径，如果扩展路径只有两条，可以改为两次递归调用（例：求解0/1背包问题、子集和问题等）
（3）这里回溯框架只有 i 这 一个参数，在实际应用中可以根据情况设置多个参数。
例：在一个含有n个整数的数组a，所有元素均不相同，设计一个算法求其所有子集（幂集）
例如：a[ ]={1,2,3},所有子集是{}，{1}，{2}，{1,2}，{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}
思路：采用回溯法
问题的解空间为子集树，每个元素只有两种扩展，要么选择，要么不选。
采用深度优先搜索思路，解向量为x[ ],x[i]=0表示不选择a[i]。用i扫描数组a，也就是说问题初始状态是（i=0，x的元素均为0），目标状态是（i=n，x为一个解）。从状态（i，x）可以扩展出两个状态。
（1）不选择a[i]元素——>下一个状态为（i+1，x[i]=0）
（2）选择a[i]元素——>下一个状态为（i+1，x[i]=i）
这里i总是递增的，所以不会出现状态重复的情况。
法一：标准解向量代码：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXN 100
void dispsolution(int a[],int n,int x[]) //输出一个解
{
printf(" { ");
for(int i=0;i<n;i++)
if(x[i]==1)
printf(" %d",a[i]);
printf("}");
}
void dfs(int a[],int n,int i,int x[]) //用回溯法求解解向量x
{
if(i>=n)
dispsolution(a,n,x);
else
{
x[i]=0;
dfs(a,n,i+1,x); //不选择a[i]
x[i]=1;
dfs(a,n,i+1,x); //选择a[i]
}
}
void main(){
int a[]={
1,2,3}; //s[0 ... n-1]为给定的字符串，设置为全局变量
int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]);
int x[MAXN]; //解向量
memset(x,0,sizeof(x)); //解向量初始化
printf("求解结果\n");
dfs(a,n,0,x);
printf("\n");
}
法二：不采用标准解向量，直接求结果
#include<stdio.h>
#include<vector>
using namespace std;
void dispsolution(vector < int > path) //输出一个解
{
printf("{");
for(int i=0;i<path.size();i++)
printf(" %d",path[i]);
printf("}");
}
void dfs(int a[],int n,int i,vector < int > path) //用回溯法求子集path
{
if(i>=n)
dispsolution(path);
else
{
dfs(a,n,i+1,path); //不选择a[i]
path.push_back(a[i]); //选择a[i],将a[i]加入path
dfs(a,n,i+1,path);
}
}
int main(){
int a[]={
1,2,3}; //s[0 ... n-1]为给定的字符串，设置为全局变量
int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]);
vector< int > path;
printf("求解结果\n");
dfs(a,n,0,path);
printf("\n");
}