空间几何（点线面）知识整理

一、点、面问题

1.已知点和任意平面，求投影点坐标

1.1 问题描述

   已知，点$P(x_0,y_0,z_0)$ , 任意平面$\Gamma$一般方程$：Ax+By+Cz+D=0$ ,求：点$P$在平面$\Gamma$ 上的投影点坐标 $P^{\prime }(x_1,y_1,z_1)$。

1.2 原理公式推导

   因为投影点到已知点与平面垂直，根据垂直约束条件，易知
$$y_1=\frac{B(x_1-x_0)}{A}+y_0$$
$$z_1=\frac{C(x_1-x_0)}{A}+z_0$$
  代入平面$\Gamma$ 一般方程，可以解得：
$$x_1=\frac{(B^2+C^2)x_0-A(B{y}_0+C{z}_0+D)}{A^2+B^2+C^2}$$
  将上式代回垂直约束条件的两个公式可得：
$$y_1=\frac{(A^2+C^2)y_0-B(A{x}_0+C{z}_0+D)}{A^2+B^2+C^2}$$
$$z_1=\frac{(A^2+B^2)z_0-C(A{x}_0+B{y}_0+D)}{A^2+B^2+C^2}$$

   由此解得空间三维点到平面的投影点坐标 $P^{\prime }(x_1,y_1,z_1)$。

1.3 代码实现

//拟合平面的系数  AX+BY+CZ+D=0; 其中A,B,C，是法向量
double A = coefficients->values[0];
double B = coefficients->values[1];
double C = coefficients->values[2];
double D = coefficients->values[3];

//平面外一点 x0 y0 z0 
double x0 = cloud->points[i].x;
double y0 = cloud->points[i].y;
double z0 = cloud->points[i].z;

//平面上一点 x1 y1 z1
double x1 = ((B * B + C * C) * x0 - A * (B * y0 + C * z0 + D)) / (A * A + B * B + C * C);
double y1 = ((A * A + C * C) * y0 - B * (A * x0 + C * z0 + D)) / (A * A + B * B + C * C);
double z1 = ((A * A + B * B) * z0 - C * (A * x0 + B * y0 + D)) / (A * A + B * B + C * C);

二、点、线问题

1.已知点和任意直线(点法式)，求投影点坐标

1.1 问题描述

   已知，点$P(x_0,y_0,z_0)$ , 任意直线 L 点法式方程$：\frac{x-a}{d}=\frac{y-b}{e}=\frac{z-c}{f}$ ,求：点$P$在直线L 上的投影点坐标 $P^{\prime }(x_1,y_1,z_1)$。

1.2 原理公式推导

   直线L的参数方程为：
$$t=\frac{x-a}{d}=\frac{y-b}{e}=\frac{z-c}{f}$$
   投影点坐标 $P^{\prime }(x_1,y_1,z_1)$为:

$$x_1=dt+a$$
$$y_1=et+b$$
$$z_1=ft+c$$

1.3 代码实现

2.已知点和任意直线(斜截式)，求投影点坐标

2.1 问题描述

   已知，点$P(x_0,y_0,z_0)$ , 任意直线 L 点法式方程$：\frac{x-a}{d}=\frac{y-b}{e}=\frac{z-c}{f}$ ,求：点$P$在直线L 上的投影点坐标 $P^{\prime }(x_1,y_1,z_1)$。

2.2 原理公式推导

   直线L的参数方程为：
$$t=\frac{x-a}{d}=\frac{y-b}{e}=\frac{z-c}{f}$$
   投影点坐标 $P^{\prime }(x_1,y_1,z_1)$为:

$$x_1=dt+a$$
$$y_1=et+b$$
$$z_1=ft+c$$

2.3 代码实现

三、线、面问题

1.已知任意直线和任意平面，求交点坐标

1.1 问题描述

   已知， 任意直线 L上一点 $A(x_a,y_a,z_a)$，其方向向量为 $\vec{s}(d,e,f)$ 。任意平面$\Gamma$上的一点$B(x_b,y_b,z_b)$，其法向量为$\vec{n}(i,j,k)$求：直线 L在平面$\Gamma$上的交点坐标 $C(x_c,y_c,z_c)$。

1.2 原理公式推导

  参数 t 为：
$$t=\frac{(x_b-x_a)\ast i+(y_b-y_a)\ast j+(z_b-z_a)\ast k}{i\ast d+j\ast e+k\ast f}$$
  交点坐标 $C(x_c,y_c,z_c)$为:

$$x_c=dt+x_a$$
$$y_c=et+y_b$$
$$z_c=ft+z_c$$

1.3 代码实现

//保证 (i* d+ j* e+ k* f) 不为 0 ，即直线与平面不平行，一定相交
if(  (i* d+ j* e+ k* f) == 0   )
{
cout << "平面平行于直线，不存在交点" <<endl;
}

double t = (( xb-xa )*i+(yb-ya)*j+(zb-za)*k)/(i* d+ j* e+ k* f);

double xc=xa+dt;
double yc=ya+et;
double zc=za+ft;
//交点坐标 (x_c,y_c,z_c)