[数据结构笔记]绪论

基本术语

• 数据元素是集合，由多个数据项构成。
• 数据项是构成数据元素的不可分割的最小单位
• 数据对象是具有相同性质的数据元素的集合（如整数集合$N$）
• 数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合
• 数据运算的定义是针对逻辑结构的，实现是针对存储结构的。

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• 算法是对特定问题的求解步骤的描述，是指令的有限序列
• 算法具有五大特性（可行性、正确性、有穷性、输入、输出）
• 正确性是指相同的输入有相同的输出
• 有穷是有限次操作，也要求有限的时间内完成
• 一个好的算法应该考虑达到：正确性、可读性、健壮性、效率与低存储量要求

基本推论

• 链式存储，结点内的储存单元地址一定连续
• 存储数据时，不仅要存储数据元素的值，还要存储数据元素之间的关系。
• 算法时间复杂度$O(n^2)$表示该算法的执行时间和$n^2$成正比
• 原地工作的算法所需辅助空间为常量，即$O(1)$，不是不需要额外空间
• 时间复杂度排序$O(1)<O({\log }_{2}n)<O(n)<O(n{\log }_{2}n)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)$
• 同一个算法，实现的语言级别越高，执行效率越低
• 时间复杂度是指最坏情况下估算算法执行时间的一个上界

其他辨析

逻辑结构

经典划分是两类：线性结构和非线性结构

根据数据元素之间的关系来看：

名称	定义
集合	结构中的数据元素之间除同属一个集合外别无关联
线性结构	结构中的数据元素之间只存在一对一的关系
树形结构	结构中的数据元素之间存在一对多的关系
图	结构中的数据元素之间存在多对多的关系

集合一般是非线性结构。

有序表和顺序表和线性表

顺序表：

• 物理空间的连续
• 例如数组
• 顺序表和链表是一组相对的概念。就好像顺序存储和链式存储是相对的一组概念一样。

线性表：

• 表示的一组数据在逻辑上具有前驱和后继的关系
• 实现可以是顺序表也可以是线性表
• 直观特点是可以通过index访问
• 显然kv对不是线性表

有序表：

• 首先它是个线性表
• 其次它的元素按某种逻辑指定的顺序排序（这意味着它的排序算法有可能需要你传入一个比较函数）

定义完整数据结构

定义完整数据结构的一定是ADT（抽象数据类型）：

ADT = (D, S, P)
D: 数据对象
S: D上的关系集
P: D上的操作集

即数据、数据关系和基本运算（详见我的[CS61A]Week03笔记1）

有序表属于逻辑结构

上面说了吧，有序表是线性表的一种。线性表的实现有顺序存储和链式存储。

主要是它只强调了逻辑关系，即有序。但是要说“顺序表是逻辑结构”就片面了。因为它既强调了逻辑关系，也指明了存储结构。

数据的逻辑结构独立与存储结构

这话不能反过来说。不知道逻辑结构是无法确定存储结构的。并且因为一种逻辑结构可以对应很多种物理结构，所以称之为独立。

相同的逻辑结构在不同的存储方式下的效率差异

线性表在顺序存储时的插入和删除平均时间复杂度$O(n)$，但是链式存储只要$O(1)$

时间复杂度

多循环且内层循环有上界在变就用多$\sum$式子按部就班求

for(i = n - 1; i > 1; i--){
    
    
	for(j = 1; j < i; j++){
    
    
		if(A[j]>A[j+1])swap(A[j], A[j+1]);
	}
}

其中n为做正整数，则swap语句的频度在最坏的情况下为：$O(n^2)$

解：当所有元素均逆序则都每次均执行

$$T(n)=\sum _{i=2}^{n-1}\sum _{j=1}^{i-1}1=\sum _{i=2}^{n-1}(i-1)=(n-2)(n-1)/2=O(n^2)$$

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for(i = 1; i <= n; i++)
	for(j = 1; j <= i; j++)
		for(k = 1; k <= j; k++)
			x++;

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i\sum _{k=1}^{j}1=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{i}j=\sum _{i=1}^n\frac{i(i+1)}{2}=O(\frac{1}{6}{n}^3)=O(n^3)$$

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两长度分别为m和n的升序链表合成为一个长度为m+n的降序链表，最坏情况下时间复杂度为：$O(max(m,n))$

【说明】：考查加法规则

$$T(n)=T_1(n)+T_2(n)=O(f(n))+O(g(n))=O(max(f(n),g(n)))$$

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int func(int n){
    
    
	int i = 0, sum = 0;
	while(sum < n) sum += ++i;
	return i;
}

时间复杂度为$\sqrt{n}$

对于给定输入规模n 要找出循环次数t和n的函数关系$f(t)<n$，随后反解

本题中循环次数t满足$\frac{(1+t)\ast t}{2}<n$，在n足够大时影响左侧的是二阶的$t^2$，$t^2<n$，故循环次数即时间复杂度为$\sqrt{n}$

总结

1. 把握好循环次数t，找准t和输入问题规模n的关系。
2. 递归程序一般使用公式递推，格式如下：

$T(n)=1+T(n-1)=1+1+T(n-2)=...=n-1+T(1)$

主要就是一直化简到$T(1)$常量为止。其他的常用的方法还有递归树和主方法