你好呀 泰勒

1、泰勒(Taylor)公式

泰勒公式1：
如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，那么存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域内的任一 $x$，有：
$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$。
佩亚诺型余项

注：泰勒公式的唯一性：
如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，且 $f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$，
则 $a_0=f(x_0)，a_1=f^{\prime }(x_0)，a_2=\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}，\cdots ，a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$。

泰勒公式2：
如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的一个邻域内具有 $(n+1)$ 阶导数，那么对于该邻域内的任一 $x$，有：
$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$,
其中 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间。
拉格朗日型余项

注： 若取 $x_0=0$，则上述泰勒公式称为麦克劳林公式。

2、重要的麦克劳林公式

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n+o(x^n)；x\in (-1,1)$

$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+o(x^n)；x\in (-\infty ,+\infty )$

$sinx=\sum _{n=0}^{\infty }=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5-\frac{1}{7!}{x}^7+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}+o(x^{2n+2})；x\in (-\infty ,+\infty )$

$cosx=\sum _{n=0}^{\infty }=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4-\frac{1}{6!}{x}^6+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}+o(x^{2n+1})；x\in (-\infty ,+\infty )$

$ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n+o(x^n)；x\in (-1,1]$

$(1+x{)}^a=想一想=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

3、无穷小等价问题 $o(x^n)$

$o(x^2)\pm o(x^2)=o(x^2)$

$o(x^2)\pm o(x^3)=o(x^2)$

$x^2\times o(x^3)=o(x^5)$

$o(x^2)\times o(x^3)=o(x^5)$

$x^3=o(x^2)$

$o(x^3)=o(x^2)$

注：只能从左向右换算；

—— 每天过来想一遍呀