【数学与算法】线性化_泰勒级数_泰勒公式

本文的所涉及的知识点，如果有相关知识盲区，请参考：
微分方程通杀篇
如何区分线性系统与非线性系统

---

本文是观看B站视频【工程数学基础】2_线性化_泰勒级数_泰勒公式所作的笔记。

---

$线性化都符合叠加原理。$
$$\dot{x}=f(x)$$
$$\{\begin{array}{l}(1)x_1,x_2是解；\\ \\ (2)x_3=k_1{x}_1+k_2{x}_2,（k_1,k_2是常数）\\ \\ (3)x_3是解。\end{array}$$
一个系统如果符合上面的三个条件，那么他就是线性系统。

例如：
$\ddot{x}+2\dot{x}+\sqrt{2}x=0$ 是线性系统
$\ddot{x}+2\dot{x}+\sqrt{2}{x}^2=0$ ,由于有平方项，所以不是线性系统
$\ddot{x}+sin(\dot{x})+\sqrt{2}x=0$ 由于有正弦项，所以不是线性系统。

线性系统是没有截距的，线性系统要满足比例性和叠加性。

---

1.使用泰勒级数 线性化：

泰勒级数展开式如下：

$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$
$x_0$是任取的一点,泰勒级数，就是在这一点附近展开。
如果$(x-x_0)$趋近于0，那么$(x-x_0{)}^2$以及$(x-x_0{)}^n$都趋近于0，
那么就有：
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)$$
上式中，$x_0$、$f(x_0)$和$f^{\prime }(x_0)$都是常数，因此，上式可以展开并写成如下形式：
$$\begin{gathered} f(x)=常数k_1+常数k_2(x-常数x_0) \\ =k_1+k_2(x-x_0) \\ =k1+k_{2}x-k_2{x}_0 \\ =kx+b \end{gathered}$$
即：$$f(x)=kx+b$$
这样就把$f(x)$线性化了。
注意，这里只是把$f(x)$线性化了，并非说$f(x)$是线性系统，它有截距b，不满足叠加原理。

---

2.泰勒级数线性化 实例：

例如：$$f(x)=sin(x)$$
把$f(x)$在 $x_0$ 处展开，得到
$$f(x)=sin(x_0)+cos(x_0)(x-x_0)$$
当$x_0=0$时，
$$f(x)=0+(x-0)=x$$
此时，如果

• 1.如果取$x=\frac{\pi }{6}$, 那么实际值$f(\frac{\pi }{6})=sin(\frac{\pi }{6})=0.5$
  
  泰勒展开式求得的近似值：$\frac{\pi }{6}=\frac{3.14}{6}=0.52$
  
  误差：$\frac{0.52-0.5}{0.5}\ast 100\%=4\%$
• 2.如果取$x=\frac{\pi }{4}$, 那么实际值$f(\frac{\pi }{4})=sin(\frac{\pi }{4})=0.707$
  
  泰勒展开式求得的近似值：$\frac{\pi }{4}=\frac{3.14}{4}=0.785$
  
  误差：$\frac{0.785-0.707}{0.707}\ast 100\%=11\%$

上面的两种情况都是$f(x)$在$x_0=0$处泰勒级数展开,由于忽略了后面的很多级数$(x-x_0{)}^n$，所以是有误差的。并且，由于$\frac{\pi }{6}$比$\frac{\pi }{4}$更接近0，因此，当$x=\frac{\pi }{6}$时，$f(x)$的取值相对更准确。

你可以想象一下，你把$f(x)$在$x_0=0$处泰勒展开，那么$x=0.1$时用泰勒级数求得的近似值$f(0.1)$当然比$x=1$时用泰勒级数求得的近似值$f(1)$更加准确。

结论：

$线性化是在某一点附近的线性化，并不是全局的线性化。$

---

$$\ddot{x}+\dot{x}+\frac{1}{x}=1\text{\hspace{1em}(1)}$$
把上式在平衡点附近线性化。
平衡点就是$x$所有的微分都为0的点:
$$\ddot{x}=\dot{x}=0\text{\hspace{1em}(2)}$$

3.一维空间的情况：

如果 $x$ 是一维的话，(2)化简为$$\frac{1}{x}=1$$
解得$$x=1$$
所以平衡点就是$x_0=1$的这个点。
（zhz:线性化应该可以任意选择在某一点进行。选在平衡点线性化可以消除常数项，构造标准的状态方程。）

要在$x_0=1$附近线性化：

那么在$x_0=1$的邻域内的一点，用 $x_{\delta }=x_0+x_d$ 表示， 其中 $x_d$ 是一个很小的值。

(zhz:我们之所以要整出来一个$x_{\delta }$是因为$x$符号已经被占用了,为避免混淆，才用$x_{\delta }$代替我们一直用到的$x$表示。)

把$x_{\delta }=x_0+xd$ 代入（1）式，得到
$$\ddot{x_{\delta }}+\dot{x_{\delta }}+\frac{1}{x_{\delta }}=1\text{\hspace{1em}(3)}$$

我们先对里面的非线性项$\frac{1}{x_{\delta }}$进行线性化，即
$$f(x_{\delta })=\frac{1}{x_{\delta }}\text{\hspace{1em}(4)}$$
在$x_{\delta }=x_0$处进行泰勒展开
$$f(x_{\delta })=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x_{\delta }-x_0)\text{\hspace{1em}(5)}$$

$f^{\prime }(x_0)$求解：$(\frac{1}{x_{\delta }}{)}^{\prime }=-\frac{1}{x_{\delta }^2}$ , 代入(5)式，得到：
$$\frac{1}{x_{\delta }}=\frac{1}{x_0}+\frac{-1}{x_0^2}{x}_d$$
把$x_0=1$代入上式，得到
$$\frac{1}{x_{\delta }}=1-x_d\text{\hspace{1em}(6)}$$
上式就是把非线性项$\frac{1}{x_{\delta }}$进行线性化的结果。

由于$x_{\delta }=x_0+x_d$ ，所以有：
$$\{\begin{array}{l}\ddot{x_{\delta }}=\ddot{x_0}+\ddot{x_d}\\ \\ \dot{x_{\delta }}=\dot{x_0}+\dot{x_d}\end{array}$$
又因为$x_0$是常数，所以
$$\{\begin{array}{l}\ddot{x_{\delta }}=\ddot{x_d}\\ \\ \dot{x_{\delta }}=\dot{x_d}\end{array}$$

把上面两个化简结果代入(3)式 $\ddot{x_{\delta }}+\dot{x_{\delta }}+\frac{1}{x_{\delta }}=1$，得到：
$$\ddot{x_d}+\dot{x_d}+\frac{1}{x_{\delta }}=1\text{\hspace{1em}(7)}$$
由于$\frac{1}{x_{\delta }}$线性化后的结果为(6)式 $\frac{1}{x_{\delta }}=1-x_d$, 代入(7)式：得到
$$\ddot{x_d}+\dot{x_d}+(1-x_d)=1$$
化简得到：
$$\ddot{x_d}+\dot{x_d}-x_d=0\text{\hspace{1em}(8)}$$
上式就是线性化后的结果。

3.二维空间的情况：

上面讲了$x$ 为一维的情况，这里来分析$x$ 为二维的情况：

$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=f_1(x_1,x_2)\\ {\dot{x}}_2=f_2(x_1,x_2)\end{array}\text{\hspace{1em}(AAA)}$$

zhz:那么在平衡点 $x_0$的邻域内的一点，用 $x_{\delta }=x_0+x_d$ 表示， 其中 $x_d$ 是一个很小的值:
$$x_d=\left[\begin{array}{c}{x_1}_d\\ \\ {x_2}_d\end{array}\right]$$
zhz:下面的分析为什么直接是$x_d$了，而不是和一维一样，分析$x_{\delta }$ ???

它在平衡点 $x_0$ 附近可以表示为：
$$\left[\begin{array}{c}{{\dot{x}}_1}_d\\ {{\dot{x}}_2}_d\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\\ & \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\end{array}\right]}_{|x=x_0}\ast \left[\begin{array}{c}{x_1}_d\\ {x_2}_d\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(BBB)}$$

令：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=x\\ \\ x_2=\dot{x}\end{array}$$
(zhz:为什么要令 $x_1=x$ ?)
那么就有：
$$\{\begin{array}{l}\dot{x_1}=x_2\\ \\ \dot{x_2}=\ddot{x}\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$

回看前面的(1)式，即：$\ddot{x}+\dot{x}+\frac{1}{x}=1$
把(1)式代入(9)的第二个式子，又由于 $x_1=x$, 所以：
$$\begin{gathered} \dot{x_2}=\ddot{x}=1-\frac{1}{x}-\dot{x} \\ =1-\frac{1}{x_1}-\dot{x_2} \end{gathered}$$
因此：
$$\{\begin{array}{l}\dot{x_1}=x_2\\ \\ \dot{x_2}=1-\frac{1}{x_1}-x_2\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$
回看前面分析，平衡点就是$x$所有的微分都为 $0$ 的点，前面的(2)式即
$\ddot{x}=\dot{x}=0$, 所以就有：
$$\{\begin{array}{l}\dot{x_1}=0\\ \\ \dot{x_2}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$
因此,平衡点 $x_0=(x_{1,0},x_{2,0})$ 为：
$$\{\begin{array}{l}{x}_{1,0}=1\\ \\ x_{2,0}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$

由(10)式和(AAA)式，可得到：
$$\{\begin{array}{l}{f}_1=x_2\\ \\ f_2=1-\frac{1}{x_1}-x_2\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$
把上面的$f_1,f_2$ 代入前面的(BBB)式：
$$\left[\begin{array}{c}{{\dot{x}}_1}_d\\ {{\dot{x}}_2}_d\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\\ & \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\end{array}\right]}_{|x=x_0}\ast \left[\begin{array}{c}{x_1}_d\\ {x_2}_d\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(BBB)}$$
并且把求解得到的平衡点(12)式的结果代入，就得到：
$$\left[\begin{array}{c}{{\dot{x}}_1}_d\\ \\ {{\dot{x}}_2}_d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ & \\ 1& -1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}{x_1}_d\\ \\ {x_2}_d\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(14)}$$

把上式的第二项列出来，即：
$${{\dot{x}}_2}_d={x_1}_d-{x_2}_d\text{\hspace{1em}(15)}$$

上式带回去还原为：
$${\ddot{x}}_d=x_d-{\dot{x}}_d\text{\hspace{1em}(16)}$$
等式右边全部移到左边，就得到了和一维情况(8)式一样的最终结果：
$$\ddot{x_d}+\dot{x_d}-x_d=0$$