最短路径的经典算法-Dijkstra算法

• 最短路径:指两顶点之间经过的边上的权值之和最小的路径,并称路径的第一个顶点为源点,最后一个顶点为终点
• 求最短路径的算法通常都依赖一种性质:两点之间的最短路径也包含了路径上 其他顶点之间的最短路径
• 带权有向图G的最短问题分两类:
  
  1. 单源最短路径:即某一顶点到其他各顶点的最短路径,可用Dijkstra算法求
  2. 任意一对顶点最短路径:可通过Floyd-Warshall算法求解

Dijkstra算法(迪杰斯特拉算法)代码实现

#include <iostream>
#include<stdlib.h>
#define maxSize 100
#define infinity 65535
using namespace std;
typedef struct{//邻接矩阵构造的图结点 
    char vnode[maxSize];
    int edge[maxSize][maxSize];
    int n,e;
}MGraph; 


void createMGraph(MGraph &G){//创建图 
    int i,j,n,e,k,w;
    cout<< "请输入图的顶点数和边数"<<endl;
    cin>> G.n >> G.e;
    n=G.n;
    e=G.e;
    cout<< "请输入顶点"<<endl;
    for(i=0;i<n;i++){
        cin>> G.vnode[i]; 
    }
    for(i=0;i<n;i++){
        for(j=0;j<n;j++){
            G.edge[i][j]=infinity;
        }
    }
    cout<< "请输入边的下标和权值:i j w"<<endl;
    for(k=0;k<e;k++){
        scanf("%d %d %d",&i,&j,&w);
        G.edge[i][j]=w;
        G.edge[j][i]=G.edge[i][j];
    } 
}


void shortPath_Dijkstra(MGraph G,int v,int path[],int distance[]){//最短路径(顶点v到各顶点的最小距离) 
    int i,j,k,t,min;
    int final[maxSize];
    for(i=0;i<G.n;i++){
        final[i]=0;//初始化,刚开始生成树里没顶点 
        distance[i]=G.edge[v][i];//开始顶点v与其他顶点的距离(若v与其他顶点没有交集,则距离为infinity) 
        path[i]=0;//能构成最小路径的顶点的下标
    }
    distance[v]=0;//自己与自己的距离为0 
    final[v]=1; //把起始顶点v加入到生成树中
    for(t=1;t<G.n;t++){
        min=infinity;
        for(j=0;j<G.n;j++){
            if(final[j]==0&&distance[j]<min){
                min=distance[j];//找出distance中的最小值(剔除已加入生成树的顶点,不然min就为0了)
                k=j;//distance的下标都是以final[v]为起点构成边的终止顶点,distance值为边的权值 
            }
        } 
        final[k]=1;//把终止顶点k放入生成树
        for(i=0;i<G.n;i++){//min就代表了final[i]=1的那部分顶点到k顶点构成的最小路径的值 
            if(final[i]==0&&(min+G.edge[k][i]<distance[i])){//若有多条分支到某个顶点的距离比直接去更短则更新 
                distance[i]=min+G.edge[k][i];//若开始顶点v与i顶点没交集,而k与i相邻接,则v与i的距离就记作min+k与i的距离
                                             //若v与i有交集,且k与i也有交集,若min+k与i的距离比v与i的距离短则更新 
                path[i]=k;//顶点i的前驱顶点为k (与终止顶点i配套的起始顶点为k) 
                          //若找到了v与i更近的路径,则更新与i相邻的顶点即为k 
                          //接下来的循环就是找与k顶点相邻接的终止顶点中构成路径最小的那个,然后放入生成树 
            }
        }
    }
} 
int main(int argc, char** argv) {
    MGraph G;
    int path[maxSize];
    int distance[maxSize];
    createMGraph(G);
    shortPath_Dijkstra(G,0,path,distance);//迪杰斯特拉算法 
    for(int i=0;i<G.n;i++){
        printf("path[%d]=%d,distance[%d]=%d\n",i,path[i],i,distance[i]);
    }
    return 0;
}

/*
    示例输入:
        顶点数和边数: 9 15
        输入顶点:   0 1 2 3 4 5 6 7 8
        输入顶点下标和权值: 
            4 7 7
            2 8 8
            0 1 10
            0 5 11
            1 8 12
            3 7 16
            1 6 16
            5 6 17
            1 2 18
            6 7 19
            3 4 20
            3 8 21
            2 3 22
            3 6 24
            4 5 26
    */