微分方程的相关概念

1.引例

例如一条曲线经过点（1，2），且曲线上任意一点的切线的斜率是$2x$，求曲线的函数表达式。

解：曲线用 $y$ 表示，曲线每一点切线的斜率其实就是 $y$ 的一阶导数，即 $y^{\prime }=2x$，可得 $y=x^2+C$，其中$C$是常数。
又因为曲线过（1，2）点，带入函数 $y=x^2+C$，得 $2=1+C$，得 $C=1$。因此求得曲线的函数表达式为 $y=x^2+1$

上述中 $y^{\prime }=2x$ 就是微分方程，取曲线表达式 $y$ 的过程就是解微分方程的过程。

2.微分方程的定义

含有未知函数及其导数的方程（对阶数没有限制）
例：设未知函数为 $y$，则下面的例子(1)(2)(3)(4)都是关于函数 $y$ 的微分方程
$$\frac{dy}{dx}=5x+3(1)$$
$$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}+(sinx)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+5xy=0(2)$$
$$(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{)}^3+3y(\frac{dy}{dx}{)}^7+y^3(\frac{dy}{dx}{)}^2=5x(3)$$
$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}-4\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=0(4)$$

3.微分方程的分类

3.1常微分方程

微分方程中的未知函数仅含有一个独立变量的微分方程。如第2节中的(1)(2)(3)。

3.2偏微分方程

微分方程中的未知函数包含两个或两个以上的独立变量的微分方程。如第2节中的(4)包含两个自变量 $t$ 和 $x$，所以是偏微分方程。

4.微分方程的阶

方程中出现的最高次导数阶数。

（1）是一阶常微分方程，（2）是三阶常微分方程，（3）是二阶常微分方程，（4）是二阶偏微分方程。

5.微分方程的解

对微分方程 $y^{\prime }=2x$，$y=x^2+C$ 是通解，$y=x^2+1$ 是特解

5.1特解

满足微分方程的某一个解

5.2通解

满足微分方程的一组解

6.初值问题和边界值问题

$$y^{{}^{\prime \prime }}+2y^{{}^{\prime }}=e^x;y(\pi )=1;y^{{}^{\prime }}(\pi )=2(5)$$
$$y^{{}^{\prime \prime }}+2y^{{}^{\prime }}=e^x;y(0)=1;y^{{}^{\prime }}(1)=1(6)$$
对微分方程 $y^{{}^{\prime \prime }}+2y^{{}^{\prime }}=e^x$，未知函数 $y$ 及其导数 $y^{\prime }$ , $y^{\prime \prime }$ 的独立变量只有 $x$。（5）$x$的取值都是 $\pi$，就是初值问题，（6 $x$的取值分别是0和1，就是边界值问题。
定义：在给微分方程添加附加条件时，如果附加条件中未知函数及其导数的独立变量取值相同，则为初值问题；如果附加条件中未知函数及其导数的独立变量取值不同，则为边界值问题。
一个初值问题或边界值问题的解 $y(x)$ 不仅要满足微分方程，还要满足所有附加条件。

7.线性偏微分方程和非线性偏微分方程

7.1线性和非线性

在数学上，对一个函数 $y=f(x)$ 来说，如果他有线性性，则必须要满足两个性质

可加性（叠加性）：若 $y_1=f(x_1)$ ， $y_2=f(x_2)$ ，则 $(y_1+y_2)=f(x_1+x_2)$

比例性（齐次性）：对于任意的 $a$，都有 $ay=f(ax)$ 成立，即 $x$ 扩大 $a$ 倍，$y$ 也扩大 $a$ 倍。

若不满足上述的两个性质就是非线性的。

比如 $y=x1$ 是一条直线，但它并不是线性的，即不满足上述条件，所以并不是所有直线都是线性的，$y=x$ 是线性的。

7.2 线性偏微分方程和非线性偏微分方程

在偏微分方程中，未知函数 $y$ 及其偏导函数均为一次方（无乘方），且无彼此相乘的情况，称为线性偏微分方程，否则称为非线性微分方程，其中 $lny$ 、$siny$，算是非线性的。

例如 $\frac{\partial y}{\partial x}+2\frac{\partial y}{\partial t}+6x^{2}y=e^{-2x^3}sin(t)$，由于$y$ ,$\frac{\partial y}{\partial x}$，$\frac{\partial y}{\partial t}$ 的幂次都是一次，且无彼此相乘的情况，因此是线性偏微分方程。

$\frac{\partial y}{\partial x}+2y\frac{\partial y}{\partial t}+6x^{2}y=e^{-2x^3}sin(t)$ ，由于出现 $y\frac{\partial y}{\partial t}$ ，因此是非线性偏微分方程