卷积小记

卷积，其实就是人人都会的多项式乘法。为啥呢？
来看下面的例子。

有两个关于$x$的多项式$A$，$B$。

$$A=a_0x^0+a_1x^1+\dots+a_nx^n,\ B=b_0x^0+b_1x^1+\dots+b_nx^n$$

我们想计算$C=A\times B$。其中，这个$``\times"$是普通的多项式乘法。

中学知识：我们需要一项一项地把系数乘起来，然后合并$x$的幂相同的同类项。

用数学味道重一点的写法，$C=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}{a_i b_j x^{i+j}}$。

多项式$C$的次数为$k$的那一项$C[k]$,可以写成

$$C[k]=\sum_{i=0}^{n}{a_ib_{k-i}x^k}$$ 。

我们看一下离散卷积的定义：

$$C[k]=(A*B)[k]=\sum_{m=0}^{n}{A[m]B[k-m]}$$ ，其中 $A,B,C$是三个长度为 $n$的离散数列，下标从0开始。

可以发现，它们的形式是完全相同的。

所以，卷积就是多项式乘法，或者说多项式乘法就是一种很常见的卷积。$\square$

从这个看法出发，我们也很容易地将离散卷积推广到连续的函数上！
只需要将普通的函数看成下标可为任意实数的数组即可，并且把求和改成积分。

仿上，沿用脑补符号，不难写出卷积的连续形式如下：

$$C(k)=\int_{-\infty}^{\infty} A(x)B(k-x)\text{d}x$$ 。

这非常真实！