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一、年终奖
（1）原题再现
描述
小东所在公司要发年终奖，而小东恰好获得了最高福利，他要在公司年会上参与一个抽奖游戏，游戏在一个6*6的棋盘上进行，上面放着36个价值不等的礼物，每个小的棋盘上面放置着一个礼物，他需要从左上角开始游戏，每次只能向下或者向右移动一步，到达右下角停止，一路上的格子里的礼物小东都能拿到，请设计一个算法使小东拿到价值最高的礼物。
给定一个6*6的矩阵board，其中每个元素为对应格子的礼物价值,左上角为[0,0],请返回能获得的最大价值，保证每个礼物价值大于100小于1000
（2）问题分析
方法：动态规划
子状态：从(0,0)到达(1,0),(1,1),(2,1),...(m-1,n-1)的最大价值
F(i,j): 从(0,0)到达F(i,j)的最大金额
状态递推：
F(i,j) = min{F(i-1,j) , F(i,j-1)} + (i,j)
初始化：
F(0,0) = (0,0)
特殊情况：第0行和第0列
F(0,i) = F(0,i-1) + (0,i)
F(i,0) = F(i-1,0) + (i,0)
返回结果：
F(m-1,n-1)
本题是最基本的动态规划题，因为每次只能向下或者向右移动一步，如何到达位置(i,j)，必然是由（i-1,j）或者（i,j-1）位置到达的。所以只要比较这两处位置的价值谁大就可以了。
初始化是关键！第一行代表一值向右走，价值是每个位置处的价值的累加。第一列代表一直向下走，价值也是每个位置处的价值的累加。
（3）完整代码
import java.util.Iterator; /* * 年终奖 */ public class Bonus { public int getMost(int[][] board) { // write code here int row = board.length; int col = board[0].length; for (int i = 1; i < row; i++) { if (board[i][0] <= 100 || board[i][0] >= 1000) { break; } board[i][0] = board[i - 1][0] + board[i][0]; } for (int i = 1; i < col; i++) { if (board[0][i] <= 100 || board[0][i] >= 1000) { break; } board[0][i] = board[0][i - 1] + board[0][i]; } for (int i = 1; i < row; i++) { for (int j = 1; j < col; j++) { if (board[i][j] <= 100 || board[i][j] >= 1000) { break; } board[i][j] = Math.max(board[i][j - 1] + board[i][j], board[i - 1][j] + board[i][j]); } } return board[row - 1][col - 1]; } }
二、迷宫问题
（1）原题再现
定义一个二维数组 N*M ，如 5 × 5 数组下所示：
int maze[5][5] = {
0, 1, 0, 0, 0,
0, 1, 1, 1, 0,
0, 0, 0, 0, 0,
0, 1, 1, 1, 0,
0, 0, 0, 1, 0,
};
它表示一个迷宫，其中的1表示墙壁，0表示可以走的路，只能横着走或竖着走，不能斜着走，要求编程序找出从左上角到右下角的路线。入口点为[0,0],既第一格是可以走的路。输入描述:
输入两个整数，分别表示二维数组的行数，列数。再输入相应的数组，其中的1表示墙壁，0表示可以走的路。数据保证有唯一解,不考虑有多解的情况，即迷宫只有一条通道。
输出描述:
左上角到右下角的最短路径，格式如样例所示。
示例1
输入
5 5
0 1 0 0 0
0 1 1 1 0
0 0 0 0 0
0 1 1 1 0
0 0 0 1 0
输出
(0,0)
(1,0)
(2,0)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
示例2
输入
5 5
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 1
0 1 1 1 0
0 0 0 0 0
输出
(0,0)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
说明
注意：不能斜着走！！
（2）问题分析
迷宫问题是BFS广度优先搜索的经典问题。假设是一个10*10的迷宫，入口在(1,1)的位置，出口在(8,10)的位置，通过(1,1)一步可以走到的位置有两个(1,2)，(2,1)但是这两个点并不是出口，需要继续通过这两个位置进一步搜索，假设现在在(1,2),下一次一步可以到达的新的位置为(1,3)，(2,2)。而通过（2，1）可以一步到达的新的位置为（2，2），（3，1），但是这里（2，2）是重复的，所以每一个点在走的过程中需要标记是否已经走过了。两步之后，还没没有走到出口，这时候需要通过新加入的点再去探索下一步能走到哪些新的点上，重复这个过程，直到走到出口为止。代码解析这个过程，最关键的步骤用当前位置带出新的位置，新的位置可以存放在一个vector或者队列中。位置需要用坐标表示，这里封装出一个Pair。
具体的理解可以看我的代码，每一步都写了很详细。使用前驱结点的原因如下图，是为了找到路径。
（3）完整代码
import java.util.*; /* * 迷宫问题 */ class Pair { //坐标 int x; int y; Pair father; public Pair(int x, int y, Pair father) { this.x = x; this.y = y; this.father = father;//前驱结点，定义这个用来保存经过的路径 } } public class Main { //根据题目要求，转换输出格式 public static String toStr(int curx, int cury) { StringBuilder sb = new StringBuilder(); sb.append("(" + curx + "," + cury + ")"); return sb.toString(); } public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); int row = sc.nextInt(); int col = sc.nextInt(); int [][]array = new int [row][col]; //输入迷宫 for (int i = 0; i < row; i++) { for (int j = 0; j < col; j++) { array[i][j] = sc.nextInt(); } } //迷宫只能走上下左右 int [][]fourLocation = { {0, 1}, {1, 0}, {0, -1}, {-1, 0}}; int [][] flag = new int[row][col]; //标记是否被走过 //队列用来存储迷宫的位置 Deque<Pair> queue = new LinkedList<>(); //放置路径 Stack<Pair> stack = new Stack<>(); queue.offer(new Pair(0, 0, null)); flag[0][0] = 1; //走过标记为1 int temp = 0; //判断是否在目标位置。即右下角 Pair curLocation = null; while (!queue.isEmpty()) { curLocation = queue.poll(); //当前位置带出所有新的位置, 可以向上下左右走 for (int i = 0; i < 4; i++) { //计算新的位置 int curX = curLocation.x; int curY = curLocation.y; int newX = curX + fourLocation[i][0]; //x轴 int newY = curY + fourLocation[i][1]; //y轴 //位置越界，继续计算下一个位置 if (newX < 0 || newX >= row || newY < 0 || newY >= col) { continue; } //如果新的位置无障碍并且之前也没走过，保存新的位置 if (array[newX][newY] == 0 && flag[newX][newY] == 0) { //找到新位置和新位置前驱位置（上一个位置） Pair newLocation = new Pair(newX, newY, curLocation); queue.offer(newLocation); flag[newX][newY] = 1; } //如果新的位置为目标位置,则结束查找 if (newX == row - 1 && newY == col - 1) { temp = 1; //到达目标位置 break; } } if (temp == 1) { break; } } //将路径入栈，先进后出原则，最后的一个位置先入栈，故而最后一个出来 while (curLocation != null) { stack.push(curLocation); curLocation = curLocation.father; } //将栈中路径按要求输出 while (!stack.isEmpty()) { System.out.println(toStr(stack.peek().x, stack.peek().y)); stack.pop(); } //因为是将前驱位置入栈，所以栈中位置只到目标位置的前一个位置。 System.out.println(toStr(row-1, col-1)); } }
