DirectX12 3D游戏开发实践（龙书）第三章 变换

线性变换

线性变换的定义

先来研究一下数学函数$\tau (v)=\tau (x,y,z)=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$。此函数输入输出都是向量。我们称$\tau$为线性变换，当且仅当函数具有下列性质时候:

$\tau (u+v)=\tau (u)+\tau (v)$
$\tau (kv)=\tau (u)+k\tau (v)$
($u、v$为向量，$k$为标量)
易得:

如果$\tau$是线性函数，那么有:

矩阵表示法

设$u=(x,y,z),i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)（i,j,k,表示坐标轴上三个方向的单位向量，叫做标准基向量）$：
$u=(x,y,z)=xi+yj+zkx=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,i)$
假设$\tau$是一条线性曲线，由上面公式可得：

结合矩阵的公式：

$\tau (i)=\tau (A_{11},A_{12},A_{13})$,$\tau (j)=\tau (A_{21},A_{22},A_{23})$,$\tau (k)=\tau (A_{31},A_{32},A_{33})$，这时候的$A$我们可以称之为矩阵$\tau$的线性变换的矩阵表示法。

缩放矩阵

缩放的计算常见于游戏中，比如获得增益体型增大等等。
在这我们先放置缩放矩阵，再进行逆推：

假设我们有一个立方体边长为4，那么我们得到了一个向量$[4,4,4]$，这时候我们想在$x$轴放大2倍，$y$轴缩小俩倍，z轴放大5倍，那么这时候我们有个缩放矩阵：$$\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 0.5& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$$这时候，我们用向量乘矩阵的计算则有：
$$[4,4,4]\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 0.5& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]=[8,2,20]$$
这时候通过计算验证，也成功得到了我们想要缩放之后的结果。
再假设一个坐标[-4,-4,0]，我们要让他在$x$轴缩小俩倍，$y$轴放大俩倍，$z$轴不变，同样的计算：
$$[-4,-4,0]\left[\begin{array}{ccc}0.5& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=[2,8,0]$$
最终也一致的得到我们想要的结果。
变换过程如下图所示：

旋转矩阵

旋转矩阵公式

对于矩阵公式的推导（整个推导过程较为复杂，关心的朋友可以自己去看看原版的推导过程），我们其实不怎么关注，下面就直接放公式，分别是对于$x,y,z$轴的旋转

仿射变换

齐次坐标

向量的平移是没意义的，因为，它只有大小和方向，与位置无关，而齐次坐标这个概念就能帮我处理向量的问，我们采用其次方式，将坐标扩充为四元组，第四个坐标$w$的取值根据被描述对象是点还是向量而定。
1.$(x,y,z,0)$表示向量
2.$(x,y,z,1)$表示点

仿射变换的定义以及其矩阵表示

一个线性变换与平移变换的组合，放射变换不能表示出我们需要的所有变换，因此在其中添加一个平移向量$b$

平移变换

蚂蚁借助位移向量$b$进行位移，现将平移变换定义为仿射变换：


最终有：

该矩阵就是平移矩阵（数据计算的验证过程，大家就可以自己去试试了）。

缩放和旋转的放射矩阵

我们将平移选择结合到一起则有：

变换的复合

下面试俩种变换方式

在大多计算中，都是先把物体移动到原点，然后做自身的旋转，最后再平移，这才是我们想要的结果，当然，如果要围绕着某个轴旋转那例外。

标架的矩阵

DriectXMath库提供的变换函数

//构建缩放矩阵
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixScaling(
		float ScaleX,
		float ScaleY,
		float ScaleZ); 
//用缩放系数构建缩放矩阵
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixScalingFromVector(FXMVECTOR Scale); 
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixRotationX(float Angle); 
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixRotationY(float Angle);
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixRotationZ(float Angle);
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixRotationAxis(FXMVECTOR Axis, float Angle);
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixTranslation(float OffsetX,float OffsetY,float OffsetZ);
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixTranslationFromVector(FXMVECTOR Offset);//用3D向量中的一个分类来构建平移矩阵
XMVECTOR XM_CALLCONV XMVector3TransformCoord(FXMVECTOR V, CXMMATRIX M); //计算点与矩阵乘积
XMVECTOR XM_CALLCONV XMVector3TransformNormal(FXMVECTOR V, CXMMATRIX M); //计算向量矩阵乘积