DirectX 12 持续整理 ——3. 变换

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绝大部分内容来自于《Introduction to 3D Game Programming with DirectX12 Frank D. Luna》

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3.变换

  这里提到的变换指的是3D世界中的几何变换，这其中包括平移（translation），旋转（rotation）以及缩放（scaling），这些变换的操作大多依靠矩阵和向量的计算来完成，所以——我最近没时间看矩阵的相关东西呢……
  按照书中的顺序，先要知道这次的学习目标都包括什么：

1. 理解线性变换（Linear transformation）和仿射变换（Affine transformation），并且要知道如何用矩阵去表示它们。
   引用：关于线性变换和仿射变换：http://www.matongxue.com/madocs/244.html#/madoc
2. 学会如何用坐标变换的形式来表示几何体的平移、旋转和缩放。
3. 知道如何通过矩阵的乘法将多个矩阵变换转化成一个矩阵的变换（通过一个矩阵来计算这种过程）。
4. 学习如何将一个坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系中，并且如何用矩阵来表示这种变化。
5. 学会使用DirectX Math类库为我们提供的各种函数，来用于构造出变换矩阵。

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3.1 线性变换

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3.1.1 线性变换的定义

  定义函数$τ(\mathbf v) = τ(x, y, z) = (x′, y′, z′)$.其中$(x, y, z)$与$(x', y', z')$为三维向量，前者为输入，后者为输出，并且满足

$τ(\mathbf u + \mathbf v) = τ(\mathbf u) + τ(\mathbf v)$
$τ(k \mathbf u) = k τ(\mathbf u)$

  那么称τ函数的操作为线性变换（此处只针对三维向量考虑）。其中 $\mathbf u = (u_x, u_y, u_z)$ 与 $\mathbf v = (v_x, v_y, v_z)$是任意的三维向量，$k$ 为标量。

  这种数学概念的定义总是令人厌恶——举个例子：我们定义一个函数

$τ(x, y, z) = (x^2, y^2, z^2 )$
  我随便取一个向量值和一个常数：
$\mathbf u = (x,y,z) = (1,2,3)$， $k = 2$
  则有：
$τ(k\mathbf u) = τ(2, 4, 6) = (4, 16, 36)$
  但是另一个结果却并不满足线性变换的定义：
$kτ(\mathbf u) = 2(1, 4, 9) = (2, 8, 18) => τ(k\mathbf u) ≠ kτ(\mathbf u)$
  所以，此时 $τ(x, y, z) = (x^2, y^2, z^2 )$ 并非线性变换。

  另外，如果 τ 是一个 线性变换，那么：

$τ(a\mathbf u+b\mathbf v+c\mathbf w) = τ(a\mathbf u+(b\mathbf v+c\mathbf w)) =aτ(\mathbf u)+τ(b\mathbf v+c\mathbf w) =aτ(\mathbf u)+bτ(\mathbf v)+cτ(\mathbf w)$

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3.1.2 线性变换的矩阵表示法

  令 $u = (x, y, z)$ ,则有：

  其中，i, j, k 为三个单位向量（标准基向量）。
  那么，此时的线性变换可以表示为：

  然后……

  (别问我怎么得到的，我也是想了好一会……它是把三维矩阵看做成三个向量，而线性变换得到的结果是也一个向量。)
  此时，矩阵 A 则被称之为 线性变换的矩阵表示。
  有了这个矩阵，我们就可以将任何目标向量或矩阵乘以变换矩阵，就能直接得到变换后的结果。

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  抛去得到变换矩阵的过程，直接给出两种变换矩阵的表现形式：

a.缩放

b.旋转

  分别绕 X 轴（ $x = 1 , y = 0 , z = 0$）， Y 轴（ $x = 0 , y = 1 , z = 0$），Z 轴（ $x = 0 , y = 0 , z = 1$）旋转：

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3.2 仿射变换

3.2.1 齐次坐标（Homogeneous Coordinates）

  对于坐标变换来说，它只能用于在“点（point）”上，而不能被用于“向量（vector）”，因为向量只是方向和数值的一种描述。那么，对于任意一个3D元组（$x,y,z$），怎么才能知道它到底是一个点还是一个向量？
  通过齐次坐标，让3D的元组增加一维，成为（$x,y,z,w$）的形式：

1. $(x, y, z, 0)$ 表示向量.
2. $(x, y, z, 1)$ 表示点.

  为什么这么定义？而不是0代表点，1代表向量呢？
  向量的 $w = 0$ 能够避免在转换的过程中，向量被修改。另外，两个点的差值为一个向量，一个点与一个向量的和值为一个点，这样符合数学规律。

3.2.2 仿射变换的矩阵表示

  在有些情况下，线性变换无法完成我们想要的变换结果（比如，平移），这时需要仿射变换（Affine Transformations）登场。
  设平移向量为$b$，则有：

  直接给出矩阵表示：

  仿射变换是通过线性变换加上一个平移向量来完成的。所以很容易看出上述的矩阵所代表的意义。
  当矩阵 $A$ 为一个单位矩阵时，那么上述矩阵所代表的意义仅仅是将一个点沿着向量 $b$ 进行平移。此时的变换矩阵如下：

  当矩阵 $A$为前面3.1.2中的缩放或旋转矩阵时，则仿射变换的矩阵所代表的意义为，一个点沿着 $b$向量进行平移的同时，进行了缩放或旋转操作。深入了解线性变换和仿射变换的区别，能够更容易了解这里的内容。

3.3 变换的结合

  设想以下情况：存在3个变换矩阵 $S$ , $R$ , $T$，怎样才能更好地完成一个已知点 $p$ 经过以上的3种变换？
  按照一般的思路来说，若要完成3次变换，只需要将点 $p$ 分别乘以这3个矩阵，就能够完成操作：

$p' = ((pS)R)T$
  但实际的情况是：我们往往操作的不仅仅是一个点，而是一个3D物体模型，这个模型中存在着许多的点，或许几个，或许几十个，甚至成千上万。假设一个物体 $V$ 由10000个点组成，那么我们需要计算次数为：
$calcCount = 10000 * 3 = 30000$
  这并不是最好的方案。
  别忘了，矩阵的乘法满足结合律。如果在第一步计算中，首先将3个变换矩阵化为一个矩阵，那么将减少很多不必要的计算步骤：
$p' = ((pS)R)T = p(SRT)$
  这样，原本30000次的操作现在仅需要近10000次计算就能完成。但是，矩阵乘法不满足交换律，切记。

3.4 坐标在不同坐标系中的转换

  有时候，我们需要将同一个点在不同的坐标系下表示，这就像同一个温度用摄氏度和华氏度来表示一样。但看起来，这个问题没有意义，而实际上，这个问题就相当于一个物体在不同的世界场景中表示出来。具体细节在第五章中有所阐释。
  假设点 $p_A$ 某个坐标系下的点坐标表示为 $(x,y)$。当坐标系改变时，点 $p_A$ 的位置并没有变化，但是它的坐标是会变的。换句话说，它的本质没有变，但它的名字变了。此时，设经过坐标系变化后，点 $p_A$的表示为：

$p_B = (x',y')$
  那么，如何用数学的方式来表示这种变化？
  这种变化的原理与矩阵的乘法原理相同。矩阵用来描述一种运动，而这种运动并非是点自己在运动，而是坐标系本身在运动。

如何理解矩阵的乘法？
引用：http://mp.weixin.qq.com/s/z5RSAFJcnr1amovcUrM85Q

  就像引用中提到的例子一样。人坐在公交车里没有移动（参照系为公交车），但车中的人却因为车的移动而改变了位置（参照系为地球）。因为坐标系的变化而让坐标中的点发生了变化。

更多细节：《Introduction to 3D Game Programming with DirectX12 Frank D. Luna》(PDF) Page.130 - 139.

3.4.1 向量

  现在开始推导向量如何在不同的坐标系中进行转换。
  向量主要由两个因素决定：方向和长度，与位置无关。
  现在假设有两个向量，$p_A = (x_A, y_A)$，$p_B = (x_B, y_B)$。如果这两个向量是相同向量在不同坐标系下的表示，$u_A$ 和 $v_A$是坐标系 A 中两坐标轴方向的单位向量，那么：

$p_A = (x_A, y_A) = x_A · u_A + y_A · v_A$
则向量 $p_B$为：
$p_B = x_A · u_B + y_A · v_B$

3.4.2 点

  与向量有所不同，决定一个点的因素是“位置”。一个向量无论放在哪里，只要它的方向和长度不变，那么这个向量就不会变。而一个点呢？

  如上图所示：先将点 P 通过 B 坐标系的单位向量进行转换。由于点 P 的位置发生了变化，所以再利用向量Q将点P的位置纠正过来。因此：
$p_B = xu_B + yv_B + Q_B$
其中，点 P 在原坐标系 A 的表示为： $p_A = (x, y)$.

上述过程已知了在二维坐标系下的表示，同理可以得到三维坐标系下向量和点的不同坐标系下的变换：

$(x′, y′, z′) = xu_B + yv_B + zw_B$ (for vectors)
$(x′, y′, z′) = xu_B + yv_B + zw_B + Q_B$ (for points)
依照3.2.1，同理可得其通用表示为：
$(x′, y′, z′, w) = xu_B + yv_B + zw_B + wQ_B$
同时可以得出其矩阵表示为：

3.5 DirectX Math 有关变换的函数

// Constructs a scaling matrix:
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixScaling(
    // Scaling factors
    float ScaleX,
    float ScaleY,
    float ScaleZ
); 

// Constructs a scaling matrix from components in vector:
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixScalingFromVector( 
    FXMVECTOR Scale    // Scaling factors (sx, sy, sz)
); 

// Constructs a x-axis rotation matrix Rx:
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixRotationX(
    float Angle    // Clockwise angle θ to rotate
); 

// Constructs a y-axis rotation matrix Ry:
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixRotationY(
    float Angle    // Clockwise angle θ to rotate
); 

// Constructs a z-axis rotation matrix Rz:
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixRotationZ(
    float Angle    // Clockwise angle θ to rotate
); 

// Constructs an arbitrary axis rotation matrix Rn:
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixRotationAxis(
    FXMVECTOR Axis,    // Axis n to rotate about
    float Angle    // Clockwise angle θ to rotate
); 

// Constructs a translation matrix:
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixTranslation(
    // Translation factors
    float OffsetX,
    float OffsetY,
    float OffsetZ
); 

// Constructs a translation matrix from components in a vector:
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixTranslationFromVector(
    FXMVECTOR Offset    // Translation factors (tx, ty, tz)
); 

// Computes the vector-matrix product vM where vw = 1 for transforming points:
XMVECTOR XM_CALLCONV XMVector3TransformCoord(
    FXMVECTOR V,    // Input v
    CXMMATRIX M    // Input M
); 

// Computes the vector-matrix product vM where vw = 0 for transforming vectors:
XMVECTOR XM_CALLCONV XMVector3TransformNormal(
    FXMVECTOR V,    // Input v
    CXMMATRIX M    // Input M
);