浅谈棋盘覆盖问题(算法思想及伪代码)

问题描述：在一个 $2^{k}$ $\times$ $2^{k}$ 的方格组成的棋盘中，有一个方格与其他的方格不同，称之为奇异块。要求：若使用一下四种L型骨牌覆盖除这个奇异块的其他方格，覆盖过程中L型骨牌之间不能有互相覆盖，设计算法求出覆盖方案。（四种L型骨牌如下图）

算法思想：分治法。

分治法原理：1.划分2.求解3.合并。将原始问题分解为如果个互不相同的子问题，对子问题进行求解。

(1)解题思路：

1.当k>0时，可以将 $2^{k}$ $\times$ $2^{k}$ 棋盘由中心划分为对称的四份 $2^{k-1}\times 2^{k-1}$ 小棋盘（子问题划分） $\rightarrow$ 此时，我们很容易知道奇异块一定在其中一个子棋盘中，其他三个相邻的子棋盘没有奇异块。Divide

2.使用一个合适的L型骨牌，覆盖三个没有奇异块的子方格（覆盖方法及L型骨牌的选取：将L型骨牌i在中心处覆盖。可参考下图） $\rightarrow$ 将覆盖的L型骨牌在其余三个子棋盘中视为奇异块，我们便得到了4个 $2^{k-1}\times 2^{k-1}$ 的棋盘覆盖问题。

3.继续递归处理四个子棋盘直到划分的子棋盘恰好为一个奇异块为止。Conquer

（2）c++代码实现(伪代码)：

算法：
    ChessBoard(tr,tc,dr,dc,n)
全局变量：
    tile = 1;//被覆盖的方格记号
    Board[n][n]=0;//标记棋盘被覆盖的方格
输入：
    tr,tc;//棋盘的左上角行号、列号
    dr,dc;//特殊方格行号、列号
    n；//棋盘尺寸n*n
执行：
ChessBoard(0,0,dr,dc,k)
/*****************************************************************************************/
ChessBoard(tr,tc,dr,dc,n)
{
    if(k==0)
         return;
    t = tile++;
    n = n/2;
    //1.检验左上角是否有奇异块
    if(dr<tr+n&&dc>tc+n)
        {
            ChessBoard(tr,tc,dr,dc,n);
        }//奇异块在此棋盘之中(左上角)

    else
        {
            Board[tr+n-1][tc+n-1] = tile;//将该方格覆盖并标记
            ChessBoard(tr,tc,tr+n-1,tc+n-1,n);//对左上角进行递归(将新覆盖的方格视为奇异块)
        }
    //2.检验右上角
    if(dr<tr+n&&dc>=tc+n)
        {
            ChessBoard(tr,tc+n,dr,dc,n);
        }
    else
        {
            Board[tr+n-1][tc+n] = tile;
            ChessBoard(tr,tc+n,tr+n-1,tc+n,n);
        }
    //3.检验左下角
    if(dr>=tr+n&&dc<tc+n)
        {
            ChessBoard(tr+n,tc,dr,dc,n);
        }
    else
        {
            Board[tr+n][tc+n-1] = tile;
            ChessBoard(tr+n,tc,tr+n,tc+n-1,n);        
        }
    //4.检验右下角
    if(dr>=tr+n&&dc>=tc+n)
        {
            ChessBoard(tr+n,tc+n,dr,dc,n);
        }
    else
        {
            Board[tr+n][tc+n] = tile;
            ChessBoard(tr+n,tc+n,tr+n,tc+n,n);
        }
}

注释：理解算法代码中的连串if-else语句非常重要!

(示意图：供理解和参考)

浅谈棋盘覆盖问题(算法思想及伪代码)

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