医学影像坐标系问题（世界坐标系、解剖坐标系和图像坐标系）

考虑到实用性问题，把代码相关的内容放在前面，理论相关的放在后面。但是实际最好的阅读顺序还是按照1、2、3的顺序吧（这也是我写这个博客的顺序）

2. 坐标系方向orientation（RAI → AIL）

2.1 统一转为RAI方向（itk的python代码）

参考知乎文章：NIfTI格式医学图像不同方向之间旋转

import itk
import numpy as np

def reorient_atlas_to_image(image):
    """
    Reorient image to RAI orientation.
    :param image: Input itk image.
    :return: Input image reoriented to RAI.
    """
    filter = itk.OrientImageFilter.New(image)
    filter.UseImageDirectionOn()
    filter.SetInput(image)
    m = itk.GetMatrixFromArray(np.array([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]], np.float64))
    filter.SetDesiredCoordinateDirection(m)
    filter.Update()
    reoriented = filter.GetOutput()
    return reoriented

atlas_path = "./atlasImage.mha"
PixelType = itk.ctype("float")
atlas = itk.imread(atlas_path,PixelType)
reorient_atlas = reorient_atlas_to_image(atlas)
itk.imwrite(reorient_atlas, "./reorient_atlas.nii.gz")

转换前后的图像信息对比：

可以看到，三个轴变了，origin也有一点点变化。

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2.2. 统一转为某个方向（itk的C++代码）

关于可以使用的方向的枚举值，例如：itk::SpatialOrientation::ITK_COORDINATE_ORIENTATION_AIL，可以参考ValidCoordinateOrientations

具体代码实现：

#include <itkOrientImageFilter.h>
#include <itkSpatialOrientation.h>

void testOriention() {
    
    
  // read image
  std::string ASL_image_path = "/data/data1/hs/CodeEditTest/ITKMinimalPathExtraction3D/TOF_2D_obl_MRV.nii.gz";
  ShortImagePointer ASL_image = readImage<short>(ASL_image_path);

  // define OrientImageFilter
  typedef itk::Image<short, 3> ImageType;
  itk::OrientImageFilter<ImageType, ImageType>::Pointer orienterASL = itk::OrientImageFilter<ImageType, ImageType>::New();

  orienterASL->UseImageDirectionOn();
  // set to fixed orientation,eg. AIL
  orienterASL->SetDesiredCoordinateOrientation(itk::SpatialOrientation::ITK_COORDINATE_ORIENTATION_AIL);
  orienterASL->SetInput(ASL_image);
  orienterASL->Update();
  ShortImagePointer convertedASLImage = orienterASL->GetOutput();
  saveImage<short>(convertedASLImage, "/data/data1/hs/CodeEditTest/ITKMinimalPathExtraction3D/fixedAILOrientation.nii.gz");
}

结果

1. 固定成某个方向的，例如：AIL
   
   左边是原图，右边是改为AIL方向之后的

2.3 设置成和另一个图方向一样（itk的C++）

2.3.1 方法2

代码

#include <itkOrientImageFilter.h>
#include <itkSpatialOrientation.h>

void testOriention() {
    
    
  // read image
  std::string ASL_image_path = "/data/data1/hs/CodeEditTest/ITKMinimalPathExtraction3D/TOF_2D_obl_MRV.nii.gz";
  ShortImagePointer ASL_image = readImage<short>(ASL_image_path);
  std::string RAI_imag_path = "/data/data1/hs/CodeEditTest/ITKMinimalPathExtraction3D/CTA.nii.gz";
  ShortImagePointer RAI_image = readImage<short>(RAI_imag_path);

  // define OrientImageFilter
  typedef itk::Image<short, 3> ImageType;
  itk::OrientImageFilter<ImageType, ImageType>::Pointer orienterASL = itk::OrientImageFilter<ImageType, ImageType>::New();

  // set to another image's orientation

  // get orientation from direction
  ImageType::DirectionType direction = RAI_image->GetDirection();
  std::cout << "will be conveted direction is \n" << direction << "\n";
  typedef itk::SpatialOrientation::ValidCoordinateOrientationFlags CoordinateOrientationCode;
  CoordinateOrientationCode orientation;
  orientation = itk::SpatialOrientationAdapter().FromDirectionCosines(direction);

  orienterASL->UseImageDirectionOn();
  orienterASL->SetDesiredCoordinateOrientation(orientation);
  std::cout << "converted image orientation is: " << orientation << "\n";

  std::cout << "Emum RAI code is: " << itk::SpatialOrientation::ITK_COORDINATE_ORIENTATION_RAI << "\n";
  orienterASL->SetInput(ASL_image);
  orienterASL->Update();
  ShortImagePointer convertedASLImage = orienterASL->GetOutput();
  saveImage<short>(convertedASLImage, "/data/data1/hs/CodeEditTest/ITKMinimalPathExtraction3D/sameAsAnotherImageOrientation.nii.gz");
}

输出结果为：

will be conveted direction is 
1 0 0
0 1 0
0 0 1

converted image orientation is: 525570
Emum RAI code is: 525570

转换后的图为：

转换正确

---

说明

这里注意，不能想当然的认为有SetDesiredCoordinateOrientation，就相应的有GetDesiredCoordinateOrientation（虽然大多数情况下都是这样），还是要仔细看文档说明和函数头文件定义。

• 这里实现借助了itk::SpatialOrientationAdapter Class Reference这个类。
• 这个类的使用参考了[ITK] [ITK-users] SpatialOrientationAdapter
• 其实一开始没看懂这个类是干嘛的，在ITK-Proposals:Orientation这个页面中看到了
  
  所以知道了itk::SpatialOrientationAdapter这个类是一个辅助类（adapter，接口适配），作用就是转换direction和orientation。

---

2.3.2 方法1

#include <itkOrientImageFilter.h>
#include <itkSpatialOrientation.h>
void testOriention() {
    
    
  // read image
  std::string ASL_image_path = "/data/data1/hs/CodeEditTest/ITKMinimalPathExtraction3D/TOF_2D_obl_MRV.nii.gz";
  ShortImagePointer ASL_image = readImage<short>(ASL_image_path);
  std::string RAI_imag_path = "/data/data1/hs/CodeEditTest/ITKMinimalPathExtraction3D/CTA.nii.gz";
  ShortImagePointer RAI_image = readImage<short>(RAI_imag_path);

  // define OrientImageFilter
  typedef itk::Image<short, 3> ImageType;
  itk::OrientImageFilter<ImageType, ImageType>::Pointer orienterASL = itk::OrientImageFilter<ImageType, ImageType>::New();
  itk::OrientImageFilter<ImageType, ImageType>::Pointer orienterRAI = itk::OrientImageFilter<ImageType, ImageType>::New();

  // set to another image's orientation
  orienterRAI->UseImageDirectionOn();
  orienterRAI->SetInput(RAI_image);
  orienterRAI->Update();

  orienterASL->UseImageDirectionOn();
  orienterASL->SetDesiredCoordinateOrientation(orienterRAI->GetGivenCoordinateOrientation());
  std::cout << "converted image orientation is: " << orienterRAI->GetGivenCoordinateOrientation() << "\n";
  std::cout << "Emum RAI code is: " << itk::SpatialOrientation::ITK_COORDINATE_ORIENTATION_RAI << "\n";
  orienterASL->SetInput(ASL_image);
  orienterASL->Update();
  ShortImagePointer convertedASLImage = orienterASL->GetOutput();
  saveImage<short>(convertedASLImage, "/data/data1/hs/CodeEditTest/ITKMinimalPathExtraction3D/AnotherImageOrientation.nii.gz");
}

输出的结果是：

converted image orientation is: 525570
Emum RAI code is: 525570

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2.3.3 错误解决

一开始使用的是

  orienterASL->SetDesiredCoordinateOrientation(orienterRAI->GetDesiredCoordinateOrientation());
  std::cout << "converted image orientation is: " << orienterRAI->GetDesiredCoordinateOrientation() << "\n";

输出是

converted image orientation is: 264194

转换错误，后来改为

  orienterASL->SetDesiredCoordinateOrientation(orienterRAI->GetGivenCoordinateOrientation ());

输出就正确了，为：

converted image orientation is: 525570

与设置的RAI的code一样。

---

上面的情况是：

orienterRAI->GetDesiredCoordinateOrientation()
// 得到的输出是：264194
itk::SpatialOrientation::ITK_COORDINATE_ORIENTATION_RAI 
//得到的输出是：525570
itk::SpatialOrientation::ITK_COORDINATE_ORIENTATION_RIP
//得到的输出是：264194

所以GetDesiredCoordinateOrientation这个函数有点问题。。

• 似乎返回的方向是枚举itk::SpatialOrientationEnums::ValidCoordinateOrientations中的第一个有效值。

• 尝试SetInput()不同方向的图像，orienterRAI->GetDesiredCoordinateOrientation()输出的都是264194(可能缺少设置了什么？？？)

• ValidCoordinateOrientations

• 

• 另外，这个函数前面有个virtual关键词，而且在itkOrientImageFilter.h头文件中没有看到这个函数的定义。。。所以可能不是这样使用的
  

---

决定使用GetGivenCoordinateOrientation 来替换GetDesiredCoordinateOrientation的原因在于，看到了github上的源代码：

从语言描述上来说，GetGivenCoordinateOrientation 应该是我要的功能。

2.4 方向的枚举值规定

关于方向的枚举值说明，详见：itkSpatialOrientation.h中的定义

查看这些方向enum定义，<<其实就是位运算，可以看看c++ ＜＜和＞＞的意思

enum class CoordinateTerms : uint8_t
  {
    
    
    ITK_COORDINATE_UNKNOWN = 0,
    ITK_COORDINATE_Right = 2,
    ITK_COORDINATE_Left = 3,
    ITK_COORDINATE_Posterior = 4, // back
    ITK_COORDINATE_Anterior = 5,  // front
    ITK_COORDINATE_Inferior = 8,  // below
    ITK_COORDINATE_Superior = 9   // above
                                  // ITK_COORDINATE_Historical=16,
                                  // ITK_COORDINATE_Future=17
  };
 
  enum class CoordinateMajornessTerms : uint8_t
  {
    
    
    ITK_COORDINATE_PrimaryMinor = 0,
    ITK_COORDINATE_SecondaryMinor = 8,
    ITK_COORDINATE_TertiaryMinor = 16
  };

...
 ITK_COORDINATE_ORIENTATION_RAI =
       (static_cast<uint32_t>(CoordinateTerms::ITK_COORDINATE_Right)  
        << static_cast<uint32_t>(CoordinateMajornessTerms::ITK_COORDINATE_PrimaryMinor)) +
       (static_cast<uint32_t>(CoordinateTerms::ITK_COORDINATE_Anterior)
        << static_cast<uint32_t>(CoordinateMajornessTerms::ITK_COORDINATE_SecondaryMinor)) +
       (static_cast<uint32_t>(CoordinateTerms::ITK_COORDINATE_Inferior)
        << static_cast<uint32_t>(CoordinateMajornessTerms::ITK_COORDINATE_TertiaryMinor)),
ITK_COORDINATE_ORIENTATION_RIP =
   (static_cast<uint32_t>(CoordinateTerms::ITK_COORDINATE_Right)
    << static_cast<uint32_t>(CoordinateMajornessTerms::ITK_COORDINATE_PrimaryMinor)) +
   (static_cast<uint32_t>(CoordinateTerms::ITK_COORDINATE_Inferior)
    << static_cast<uint32_t>(CoordinateMajornessTerms::ITK_COORDINATE_SecondaryMinor)) +
   (static_cast<uint32_t>(CoordinateTerms::ITK_COORDINATE_Posterior)
    << static_cast<uint32_t>(CoordinateMajornessTerms::ITK_COORDINATE_TertiaryMinor)),

直接按照各自的枚举值，进行位运算，可以得到：

uint32_t RAI = (static_cast<uint32_t>(2) << static_cast<uint32_t>(0)) + (static_cast<uint32_t>(5) << static_cast<uint32_t>(8)) +
               (static_cast<uint32_t>(8) << static_cast<uint32_t>(16));
std::cout << RAI << "\n";
std::cout << itk::SpatialOrientation::ITK_COORDINATE_ORIENTATION_RAI << "\n";

uint32_t RIP = (static_cast<uint32_t>(2) << static_cast<uint32_t>(0)) + (static_cast<uint32_t>(8) << static_cast<uint32_t>(8)) +
               (static_cast<uint32_t>(4) << static_cast<uint32_t>(16));
std::cout << RIP << "\n";
std::cout << itk::SpatialOrientation::ITK_COORDINATE_ORIENTATION_RIP << "\n";

输出为：

525570
525570
264194
264194

---

参考：

• Github代码：ITK/Modules/Filtering/ImageGrid/include/itkOrientImageFilter.hxx
  • 对应的doxygen页面：https://itk.org/Doxygen/html/namespaceitk_1_1SpatialOrientation.html
• ITK讨论：
  • ITK Community- OrientImageFilter ASL >> RAI wrong output?
  • ITK change orientation of images with OrientImageFilter
  • Re: [Insight-users] VectorImage Orientation from NRRD
• 将某个图的坐标系设置成另一个图的坐标系，需要使用set，根据ITK的doxygen：itk::OrientImageFilter< TInputImage, TOutputImage > Class Template Reference，GetDesiredCoordinateOrientation
  这个网页文档中本身就包含例子，在Detailed Description后面
• ITK学习笔记（七） ITK旋转方向位置不变
• 相关的类其实还有一个：itk::SpatialOrientationAdapter Class Reference
  • 来自[ITK] [ITK-users] SpatialOrientationAdapter

3. 世界坐标系和图像坐标系转换（physical space ↔ voxel space）

参考内容：

• 网页版本：4.1.4 Defining Origin and Spacing
• 网页pdf书：ItkSoftwareGuide.pdf，P71-4.1.4 Defining Origin and Spacing部分。

3.1 直接调用ITK现有的函数

3.1.1 代码

void coordinateConvert() {
    
    
  std::string ASL_image_path = "/data/data1/hs/CodeEditTest/ITKMinimalPathExtraction3D/TOF_2D_obl_MRV.nii.gz";
  ShortImagePointer ASL_image = readImage<short>(ASL_image_path);

  typedef itk::Image<short, 3> ImageType;
  using PointType = itk::Point<double, ImageType::ImageDimension>;
  PointType point;
  point[0] = 82.7614;   // x coordinate
  point[1] = -151.254;  // y coordinate
  point[2] = 114.037;   // z coordinate

  ImageType::IndexType pixelIndex;
	
  // 世界坐标转voxel坐标
  bool isInside = ASL_image->TransformPhysicalPointToIndex(point, pixelIndex);
  if (isInside) {
    
     std::cout << "World point is " << point << " ,corresponding is Voxel Index " << pixelIndex << "\n"; }

  PointType point2;
  // voxel坐标转世界坐标
  ASL_image->TransformIndexToPhysicalPoint(pixelIndex, point2);
  std::cout << "Voxel Index is " << pixelIndex << " ,corresponding is 2orld point " << point2 << "\n";
}

输出内容：

World point is [82.7614, -151.254, 114.037] ,corresponding is Voxel Index [2, 3, 4]
Voxel Index is [2, 3, 4] ,corresponding is 2orld point [82.7614, -151.254, 114.037]

结果说明

3.1.2 说明

这里其实会发现，根据函数的头文件定义，上面所使用的两个转换函数：

bool 	TransformPhysicalPointToIndex (const Point< TCoordRep, VImageDimension > &point, IndexType &index) const
// 返回是bool值

void 	TransformIndexToPhysicalPoint (const IndexType &index, Point< TCoordRep, VImageDimension > &point) const
// 这个没有返回值

根据itk文档：TransformPhysicalPointToIndex()

• 这个函数会把计算出的index进行round（四舍五入），
• 如果计算出的的index位于图像范围，则返回true，否则false。

---

同时参考：TransformPhysicalPointToIndex that remains inside the boundaries of the image

• 物理坐标转index时，计算可能会导致index出现负值或者图像index之外的情况，因此需要进行bool判断
• 而index转物理坐标的时候，好像不会考虑这个问题，因为一般给index都是从图像里给的，如果人工专门指定一个错误的，那也没办法？

3.2 从头实现的代码

可以根据转换公式，自己手动实现一下。参考slicer软件中RAS转换为像素坐标方法

3.2.1 代码

voxel（itk::Index）和world（itk::Point）互相转换

void worldAndVoxelConvert() {
    
    
  std::string ASL_image_path = "/data/data1/hs/CodeEditTest/ITKMinimalPathExtraction3D/TOF_2D_obl_MRV.nii.gz";
  ShortImagePointer ASL_image = readImage<short>(ASL_image_path);

  // get spacing
  using MatrixType = itk::Matrix<double, 3, 3>;
  MatrixType SpacingMatrix;
  SpacingMatrix.Fill(0.0F);

  typedef itk::Image<short, 3> ImageType;
  const ImageType::SpacingType& ImageSpacing = ASL_image->GetSpacing();
  SpacingMatrix(0, 0) = ImageSpacing[0];
  SpacingMatrix(1, 1) = ImageSpacing[1];
  SpacingMatrix(2, 2) = ImageSpacing[2];

  // get direction
  const ImageType::DirectionType& ImageDirectionCosines = ASL_image->GetDirection();

  // get origin
  const ImageType::PointType& ImageOrigin = ASL_image->GetOrigin();

  // convert voxel index to world point
  const ImageType::IndexType voxelIndex({
    
    2, 3, 4});
  using VectorType = itk::Vector<double, Dimension>;

  VectorType indexVector;
  indexVector[0] = voxelIndex[0];
  indexVector[1] = voxelIndex[1];
  indexVector[2] = voxelIndex[2];
  ImageType::PointType pointWorld = ImageOrigin + ImageDirectionCosines * SpacingMatrix * indexVector;
  std::cout << "Voxel Index is " << voxelIndex << " , corresponding world point is " << pointWorld << "\n";

  // convert world point to voxel index 暂时有点问题
  using VectorType = itk::Vector<double, Dimension>;
  MatrixType Minv(ImageDirectionCosines.GetInverse());
  VectorType spacingVector;
  spacingVector[0] = 1 / ImageSpacing[0];
  spacingVector[1] = 1 / ImageSpacing[1];
  spacingVector[2] = 1 / ImageSpacing[2];
  VectorType indexVector2 = Minv * (pointWorld - ImageOrigin) * spacingVector;

  ImageType::IndexType voxelIndex2;
  voxelIndex2[0] = indexVector2[0];
  voxelIndex2[1] = indexVector2[1];
  voxelIndex2[2] = indexVector2[2];
  std::cout << "world point is " << pointWorld << " , corresponding  is Voxel Index" << voxelIndex2 << "\n";
}

输出：

Voxel Index is [2, 3, 4] , corresponding world point is [82.7614, -151.254, 114.037]
world point is [82.7614, -151.254, 114.037] , corresponding  is Voxel Index[8, 8, 8]

世界坐标转voxel还有点问题

---

对于index为(2,3,4)的点来说，

• 由于itk-snap是从1开始计数，因此需要去查看index为(3,4,5)的点。
• 可以看到输出的计算出的世界系坐标和itk-snap中显示的是基本一致的
  

3.2.2 说明

3.2 相关理论

主要参考ITK的 https://itk.org/ItkSoftwareGuide.pdf：

• p71页附近，其实写的和 1. 理论性内容中1.4 坐标系转换中差不多
  

3.2.1 图像转世界

• p74页附近
  

3.2.2 世界转图像

1. 理论性内容

这部分内容参考：

• Coordinate systems
• 对应的中文翻译： 医学影像简介(Medical Imaging Guide)

---

• 在面对医学影像及相关的应用时，需要解决不同坐标系之间差异的问题。
• 在医学影像成像的使用中，有三种常见的坐标系，彼此之间有非常明显的区别，即：世界坐标系（World coordinate system），解剖（Anatomical）坐标系和图像（Image ）坐标系

下图说明了这三种坐标系统及其对应的轴

每种坐标系都有各自的意义，以不同的方式描述物体位置信息。

• 解剖坐标系的图像是来自于My MS organization的共享图像。
• Chand John有一个关于Slicer中如何处理坐标系的详细的PPT，这里，60多页，讲的很详细，后续会把ppt中的内容也整理出来

1.1 世界坐标系(World coordinate system)

• 世界坐标系通常会采用笛卡尔坐标系（$x,y,z$），一般是要被建模的对象所在位置的坐标系（比如：一个MRI的扫描对象或者病人）。
• 每个被建模的对象都有自己的坐标系，但是只有1个世界坐标系来定义每个被建模对象的位置和朝向。

1.2 解剖坐标系（Anatomical coordinate system）

解剖坐标系是医学影像技术中最重要的建模坐标系（也被称为患者坐标系），这个坐标系（空间）由三个平面组成，来描述人体的标准解剖位置

• axial （轴向/横截面）平行于地面，把头部（Superior）和脚部（Inferior）分开
• coronal（冠状面）垂直于地面，把胸前（Anterior，前）和背后分开 (Posterior，后)
• sagittal（矢状面） 将左边（Left）和右边（Right）分开

在这些面中，每个轴的刻度都有个正方向（比如：轴向面Axial中，SI这个方向上的负方向就由Inferior 轴表示），上面的6个方向会作为坐标系的正负轴，因此需要确定其中三组轴的正方向。

解剖坐标系是一个连续的三维空间，可以在解剖坐标系中对影像进行采样

• 在神经影像中，一般会相对于要被扫描的人脑来定义这个空间。
• 因此，3D的基（方向向量）是根据解剖轴的前后（anterior-posterior），上下（inferior-superior）和左右（left-right）来定义的。
• 注释： 3D的基（basis），指的其实就类似于线性代数中的基（基底向量，一般是单位向量，可以用来表示平面中任意其它向量）

不过，不同的医学应用使用不同的3D基定义的，最常见的是以下几组基：

• LPS (Left, Posterior, Superior) ，这组基一般用于DICOM图像和ITK套件（itk、itk-snap和simpleitk等）中

$$LPS=\left\{\begin{array}{c}fromrighttowardsleft(从右到左)\\ fromanteriortowardsposterior(从前到后)\\ frominferiortowardssuperior(从上到下)\end{array}\right\}$$

• RAS (Right, Anterior, Superior) 和LPS很像，但是前两个轴翻转了，一般用在3D Slicer中

$$RAS=\left\{\begin{array}{c}fromlefttowardsright(从左到右)\\ fromposteriortowardsanterior(从后到前)\\ frominferiortowardssuperior(从上到下)\end{array}\right\}$$

这两个基底向量（基）都符合人的逻辑，同时都很重要，知道每个图像的基是必要的。

• 同时上面两种坐标系都是右手坐标系，实际还有可能会遇到左手坐标系，
• 关于左手和右手坐标系，可以查看1.7 左手坐标系和右手坐标系的内容

注意

• LPS和RAS都是使用到达的方向来表示的，
• 有时候也表示出发(from)的方向(也就是负方向), 此时上面的LPS会被写成RAI, 对应的到达(to)方向才是LPS
• 比如ITK-Snap软件中Tools->Image Information->Orientation就写的是RAI, 表达的意思是 from RAI --> to LPS ,
• 同样的使用 ITK 导出的MHD格式图像也是使用From模式。

1.3 图像坐标系（Image coordinate system）

图像坐标系描述一个图像是如何从解剖坐标系中获得的。

• 医疗扫描器械从左上角开始创建规则的矩形点数组，以及格子阵列。
• $i$轴向右是正方向，$j$轴向下是正方向，$k$轴向后是正方向（胸前到背后）

除了每个体素(voxel )$(i,j,k)$的强度值，还会存储解剖坐标的原点(origin)和间距(spacing)

• origin(原点)表示图像第一个体素点(0，0，0)在解剖坐标系中的位置。（例如：100mm, 50mm, -25mm）
• spacing(间距)表示沿着每个轴体素之间的距离。（例如：1.5mm, 0.5mm, 0.5mm）

下面这个2D示例显示了origin和spacing的含义

使用origin和spacing，图像坐标系中每个体素在解剖坐标系中的位置就可以被计算出来。

• ITK中，解剖坐标系一般称为物理空间（physical space），一般是用itk::point来表示的
• 图像坐标系一般称为体素空间（voxel space），一般是用itk::index来表示的

1.4 坐标系转换（图像坐标系到解剖坐标系）

1.4.1 理论

• 从图像空间向量$(ijk{)}^{\prime }$(origin和体素点的连线)转为解剖空间向量($\overrightarrow{x}=(x,y,z)$)是一个仿射变换的过程，
• 需要一个线性变换矩阵($A$)以及一个平移向量($\overrightarrow{t}$)
• 变换矩阵($A$)是一个$3\times 3$的矩阵，包含图像轴的方向和缩放等信息。
• $\overrightarrow{t}$是一个$3\times 1$的向量，一般等于origin，包含的是图像第一个体素的几何位置

整体转换公式可以表示为：
$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}A11& A12& A13\\ A21& A22& A23\\ A31& A32& A33\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}i\\ j\\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{t}_1\\ t_2\\ t_3\end{array}\right)$$
上式表示：线性转换是通过矩阵乘法完成的，平移是通过向量加法完成的。为了简化公式，可以把向量加法部分合并到矩阵乘法中去。即：
$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}A11& A12& A13& t_1\\ A21& A22& A23& t_2\\ A31& A32& A33& t_3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}i\\ j\\ k\\ 1\end{array}\right)$$
上面的$4\times 4$矩阵也也被称为 IJKtoLPS-matrix 或者 IJKtoRAS-matrix （取决于要转出的解剖系空间的方向），表示这个矩阵是用于从IJK(图像坐标系)转到LPS或者RAS

---

其实还可以更简单点，只是这里可能有其他考量（比如代码表示的时候，齐次可能会更好一些？？），所以没有写成下面这样更简化的形式吧
$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}A11& A12& A13& t_1\\ A21& A22& A23& t_2\\ A31& A32& A33& t_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}i\\ j\\ k\end{array}\right)$$

1.4.1 例子

下图左边是$L(P)S$方向的解剖空间（没有前后，只有上下和左右，二维示例），右侧是对应的图像坐标系

• origin（解剖空间的第一个体素点的坐标）是($50mm(i),300mm(k)$)，
• 两个轴上的spacing是($50mm,50mm$)

$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}A11& A12& t_1\\ A21& A22& t_2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}i\\ j\\ 1\end{array}\right)$$

• 求出的$(x,y)$就是$L(P)S$的坐标（物理坐标），输入的$(i,j)$是图像坐标系
• 计算过程类似这样
  
• 其实对于上面的公式来说，缺少$A$矩阵和平移向量$\overrightarrow{t}$的值，可以使用待定系数法去计算。
• 很容易可以从图中知道，
  • (0,0)对应的是(50,300)，
  • (0,1)对应的是(50,250)
  • (1,0)对应的是(100,300)
  • 把这三组点的值带进去，就可以求出$A$矩阵和平移向量$\overrightarrow{t}$了
• 最后求出的结果， IJtoLS-matrix为
  $$IJtoLS=\left(\begin{array}{ccc}A11& A12& t_1\\ A21& A22& t_2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}50& 0& 50\\ 0& -50& 300\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
• 不难发现，平移向量$\overrightarrow{t}$就等于origin
• $A$转换矩阵，从下图的右侧变到左侧（图像坐标系变成解剖坐标系）时，没有发生旋转，所以只有对角线上有值（仅仅起到缩放轴，和改变方向的作用）
• 对角线
  • 数值上等于 spacing。
    其实是个比例，（50/1和50/1），因为图像坐标系的space是1，所以这里直接使用解剖坐标系的space就可以
    确实就是求个公式，把右边的值变成左边的值。。不需要想的太复杂
    矩阵操作是一次求3个轴/2个轴，可以1个1个轴去看，最后把公式整合成矩阵就行
  • 方向上，left和i方向相同，superior和j方向相反（沿着 $i$增大的方向 $Left$ 轴是增加的, 沿着 $j$ 增大的方向 $Superior$轴是减小的），因此一个是50，另一个是-50(反方向)
    

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类似的，对于下图，

IJtoRS-matrix就等于
$$IJtoLS=\left(\begin{array}{ccc}A11& A12& t_1\\ A21& A22& t_2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-50& 0& 250\\ 0& -50& 300\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

和IJtoLS-matrix有两个区别，

• 一个是origin（都是左上角，但是正方向变了，所以数值变了）
• left → right，所以第二行的50也变成反向的-50了
• RAS是右手坐标系，LAS是左手坐标系

1.5 结合itk-snap理解

1. ITK-SNAP的解剖坐标系是RAI
   

2. ITK-SNAP图像的第一个点表示为(1,1,1)，而不是(0,0,0)。第一个点对应的解剖坐标系位置就是origin的值
   

3. 通过origin和spacing，可以计算出每个体素对应的世界坐标
   

注意

• 在ITK-SNAP中，解剖坐标被称为 World units（世界坐标），不需要过度纠结世界系坐标（笛卡尔坐标-$x,y,z$），知道指的是什么就可以，不要太纠结于名称

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1.6 结合3D Slicer理解

1.7 左手坐标系和右手坐标系

1.7.1 医学影像里的左手坐标系和右手坐标系

这里规定拇指必须指向左右方向，食指必须指向前后方向，中指必须指向上下

• RAS是一个右手坐标系（拇指=R，食指=A，中指 = S），一般神经病学里常用。
  • 手可能不是很好比划这个动作，
• LAS是一个左手坐标系，一般放射学里常用
• 左手坐标系和右手坐标系在执行矩阵和向量的乘法运算时很重要，通常右手坐标系更常使用（也可以进行调整来使用左手坐标系）

参考： Orientation and Voxel-Order Terminology: RAS, LAS, LPI, RPI, XYZ and All That

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1.7.2 一般所说的左右手坐标系

拇指只能是 X轴，食指只能是 Y轴，中指只能是 Z轴，是为了定义一种区分标准，让你可以区别什么是右手坐标系，什么是左手坐标系。(有其他区分标准）。

在这种区分标准下，上面的坐标系只能用左手或者右手做出来。

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参考内容：

• 知乎：左手坐标系 右手坐标系 区别
• 知乎：左手坐标系 vs 右手坐标系
• 博客园：左手坐标系和右手坐标系

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其他参考：

• Understanding coordinate systems and DICOM for deep learning medical image analysis

• Coordinate Systems in Medical Data Science — a rant

• https://www.uio.no/studier/emner/matnat/ifi/INF-GEO4310/h12/undervisningsmateriale/medical_imaging_handouts.pdf

• Orientation and Voxel-Order Terminology: RAS, LAS, LPI, RPI, XYZ and All That

• Section 11. Direction Matrices - This section is in construction

• http://itksnap.org/pmwiki/pmwiki.php?n=Documentation.DirectionMatrices

• 医学图像中解剖学坐标系（病人坐标系）和图像坐标系

• 医学图像处理入门知识 | 格式DICOM，MHD+RAW | 坐标系 | ITK-SNAP | 重采样

• DICOM医学图像读取涉及到的医学坐标体系

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坐标系转换：

• Coordinate System Conversion Between ITK and Slicer3
• slicer软件中RAS转换为像素坐标方法
• Building the ijk to RAS transform from a nrrd file
• Understanding 3D medical image orientation for programmers

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itkwidget

• https://bytemeta.vip/repo/InsightSoftwareConsortium/itkwidgets/issues/436
• https://github.com/InsightSoftwareConsortium/itkwidgets