整理得较为口语化，应该是比较好懂的啦~欢迎讨论问题，这篇配合“固定渲染管线”（我后续也会整理出来）的内容食用更佳哦！

特殊向量：

向量相等：

向量的计算：

向量

【当我们需要用向量表示方向的时候，将其进行归一化（单位化）】

基础知识：

坐标系：

左手坐标系：左手半握手心朝上放在胸前：手臂指向为x轴，四指为y轴，拇指为z轴

右手坐标系：右手半握手心朝上在身侧平举，手臂指向为x，四指为y，拇指为z轴

向量有大小和方向，标量只有大小，没有方向。

*笛卡尔坐标系中，每一个向量都认为是以原点开始

特殊向量：

(1,0,0),(-1,0,0),(0,1,0),(0,-1,0),(0,0,1),(0,0,-1),(0,0,0)[零向量]

单位向量：模为1的向量

因点乘（dot）中cos只取正数，两个向量单位化后可以用来区分方向，零向量用来清零

向量相等：

数学意义上来说，是各分量相等，但是在游戏开发应用时一般是给定范围（如小数点后5位），小于某值则为相等

向量的计算：

向量求模与单位化：

向量求模：

向量单位化： $\frac{ \overrightarrow{a}}{\left | a \right |}$

零向量不能单位化，但可以进行求模

向量加法：

维数相同的两个向量才能进行向量加法，向量加法满足平行四边形或三角形法则。

向量的加法满足如下性质：

1）交换律：a+b=b+a； 2）结合律：（a+b）+c＝a+（b+c）；

3）a+0=0+a=a； 4）a+（-a）=（-a）+a=0。

向量减法：

向量减法可以看作是向量加法的逆运算。向量减法可按照三角形法则判断。

减法不满足交换律和结合律，交换后所得的结果模相等，方向相反

向量数乘：

标量与向量相乘称为向量的数乘。

向量数乘有以下性质：交换律和结合律

1）1• $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{u}$ ；

2）k•（l• $\overrightarrow{u}$ ）=(k•l) • $\overrightarrow{u}$ ；

3）(k+l) • $\overrightarrow{u}$ = k $\overrightarrow{u}$ +l $\overrightarrow{u}$ ；

4）k（ $\overrightarrow{u}$ ＋ $\overrightarrow{v}$ ）= k $\overrightarrow{u}$ ＋k $\overrightarrow{v}$ ；

向量点乘：

dot（·乘） ：一般用于求夹角关系

[一般将向量单位化再进行，点乘用于求夹角，范围是0~180°]

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}_x \overrightarrow{v}_x+\overrightarrow{u}_y \overrightarrow{v}_y+\overrightarrow{u}_z \overrightarrow{v}_z=\left | \overrightarrow{u} \right |\left | \overrightarrow{v} \right |cos\theta$

通过点乘结果可判断两个向量的关系：cosθ

如果 = 0，那么向量相互垂直；

如果 > 0，那么向量 u 、v 之间的夹角小于90°；

如果 < 0，那么向量 u 、v 之间的夹角大于90°。

向量投影（只做了解）：

给定两个向量v与n，可以把向量v分解为两个向量vx，vy，它们分别平行和垂直于向量n，把平行于向量n的向量vx称为向量v在向量n上的投影。

$\overrightarrow{v}_x=n \frac{\left |v_x \right |}{\left |n \right |}=n \frac{\left |v \right |cos \theta }{\left |n \right | }=n \frac{\left |v \right |\left |n \right | cos\theta }{\left |n \right |^2} =n \frac{v\cdot n}{\left |n \right |^2}$

向量叉乘：

叉乘的结果是一个向量。u和v进行叉乘后得到另一个向量p，向量p同时垂直于 u 、v。[用于求法线]，将x，y，z看作循环，xyzx……

$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=[(u_y v_z-u_z v_y),(u_z v_x-u_x v_z),(u_x v_y-u_y v_x)]$

向量的叉乘有如下性质：

1）反对称性：u×v＝－v×u；

2）齐次性：（ku）×v＝k（u×v）；

3）可加性：u×（v+r）＝u×v＋u×r。

被乘数到乘数，是顺时针则物体是正面，逆时针则是背面，（背面裁剪的时候就可以将它裁剪掉，不用渲染）

光照模型

图形学中光的类型：点光源（没有方向），平行光（只有方向，没有位置），泛光灯（聚光灯）

（我的位置-点光源的位置=光线方向，平行光不需要求光线方向）

光照模型分类：光源（自发光），环境光，漫反射，镜面反射：反映物体表面光滑程度

${\color{Red} I_{Total}=I_{Ambient}+ I_{Diffuse} + I_{Specular} + I_{Emissive}}$

（总光照 = 环境光 + 漫反射 + 镜面反射 + 自发光）

下面会介绍如何计算主要分量：

环境光（Ambient）：

没有空间上的位置和方向的特征，只有一个颜色亮度值。

$I_{ambient}=S_{ambient}$

添加材质后： $I_{ambient}=m_{ambient}S_{ambient}$ （反射能力和材质）

漫反射（Diffuse）：

需要：光方向的逆方向和法线

光源的向量取反，将光线向量和法线单位化，然后进行点乘dot，再乘以物体的漫反射材质

$I_{diffuse}=S_{diffuse}\times cos\alpha =S_{diffuse} \times (L\cdot N)$

添加材质后：

$I_{diffuse}=m_{diffuse}S_{diffuse}\times cos\alpha =m_{diffuse}S_{diffuse} \times (L\cdot N)$

L应为光照射的反方向

镜面反射（Specular）：

发生在光滑物体表面的高光反射中

需要：光线向量反方向、反射光向量，观察者方向（物体-我的位置）

[越和反射光向量重合，即α越小，看到的镜面反射光越强]

把观察者和光线向量的反方向单位化后相加得到夹角平分线，（即由向量求出的相应法线），单位化，再与单位化后的法线进行dot点乘，得到的角度越大，能看到的反射光越小。最后进行pow加入极亮和泛光反应，pow的值越大表示极亮反应越强，越小表示泛光反应越强

$I_{specular}=S_{specular}\times (cos\alpha )^p=S_{specular}\times (V\cdot R)^p$

添加材质后：

$I_{specular}=m_{specular}S_{specular}\times (cos\alpha )^p=m_{specular}S_{specular}\times (V\cdot R)^p$

极亮反应，镜面反射集中在某一视角内，其他地方看不到

泛光反应：大部分范围都能看到

矩阵

（默认以（1，1）开头）m行n列的矩形表A称为一个m×n矩阵，记作 $A_{m\times n}$

基础理论：

方阵：当m和n相等时，A称为一个n阶方阵。

单位矩阵：只有方阵（行列相等）才有单位矩阵，主对角线为1，其余都为0，乘任何矩阵都得到原矩阵，等价于数字1

零矩阵：可乘情况下，乘任何都为0，等价于数字0

单位矩阵和零矩阵没有逆矩阵

矩阵相等：如果两个矩阵具有相同的维数（同种矩阵）并且它们的元素都相等，则这两个矩阵相等。

矩阵计算：

矩阵加法：

只可以在两个同种矩阵之间进行。矩阵的和就是两个矩阵的对应元素相加的和组成的矩阵。

有如下性质：

1）交换律：A+B=B+A；

2）结合律：A+（B+C）=（A+B）+C；

3）存在与A同型的零矩阵0，使得0+A=A+0=A；

4）A+（-A）=0，-A称为A的负矩阵（每个成员取反）。

矩阵减法：

只能在两个相同维数的矩阵之间进行。即各分量相减

矩阵数乘：

矩阵与一个标量（或数量）相乘称为矩阵的数乘，即把数字乘到各分量里去

假设A，B是两个同型矩阵，k，l是两个标量，则有如下性质：

1）1•A=A，0•A=0；

2）（k+l）A = kA + lA；

3）k（lA）= l（kA）=（kl）A；

4）k（A+B）= kA+kB；

矩阵乘法：

矩阵A的列数需要和矩阵B的行数相等

A为m×n且B为n×p的矩阵，矩阵乘法结果为m×p的矩阵C，记作C=A×B。

在矩阵C中第ij个元素：A中第i个行向量和B中的第个j个列向量的点乘结果。

$C_{ij}=a_i\cdot b_j$

例：

$AB=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23 } \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32} \end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix} ((a_{11},a_{12},a_{13})\cdot (b_{11},b_{21},b_{31})&(a_{11},a_{12},a_{13})\cdot (b_{12},b_{22},b_{32})\\(a_{21},a_{22},a_{23})\cdot (b_{11},b_{21},b_{31})&(a_{21},a_{22},a_{23})\cdot (b_{12},b_{22},b_{32}))\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}\end{bmatrix}=C$