基于蜣螂算法优化的核极限学习机(KELM)回归预测
摘要：本文利用蜣螂算法对核极限学习机(KELM)进行优化，并用于回归预测.
1.KELM理论基础
核极限学习机（Kernel Based Extreme Learning Machine，KELM）是基于极限学习机（Extreme Learning Machine，ELM）并结合核函数所提出的改进算法，KELM 能够在保留 ELM 优点的基础上提高模型的预测性能。
ELM 是一种单隐含层前馈神经网络，其学习目标函数F(x) 可用矩阵表示为:
F ( x ) = h ( x ) × β = H × β = L (9) F(x)=h(x)\times \beta=H\times\beta=L \tag{9} F(x)=h(x)×β=H×β=L(9)
式中： x x x 为输入向量， h ( x ) h(x) h(x)、 H H H 为隐层节点输出， β β β 为输出权重， L L L 为期望输出。
将网络训练变为线性系统求解的问题， β \beta β根据 β = H ∗ ⋅ L β=H * ·L β=H∗⋅L 确定，其中， H ∗ H^* H∗ 为 H H H 的广义逆矩阵。为增强神经网络的稳定性，引入正则化系数 C C C 和单位矩阵 I I I，则输出权值的最小二乘解为
β = H T ( H H T + I c ) − 1 L (10) \beta = H^T(HH^T+\frac{I}{c})^{-1}L\tag{10} β=HT(HHT+cI)−1L(10)
引入核函数到 ELM 中，核矩阵为：
Ω E L M = H H T = h ( x i ) h ( x j ) = K ( x i , x j ) (11) \Omega_{ELM}=HH^T=h(x_i)h(x_j)=K(x_i,x_j)\tag{11} ΩELM=HHT=h(xi)h(xj)=K(xi,xj)(11)
式中： x i x_i xi ， x j x_j xj 为试验输入向量，则可将式（9）表达为：
F ( x ) = [ K ( x , x 1 ) ; . . . ; K ( x , x n ) ] ( I C + Ω E L M ) − 1 L (12) F(x)=[K(x,x_1);...;K(x,x_n)](\frac{I}{C}+\Omega_{ELM})^{-1}L \tag{12} F(x)=[K(x,x1);...;K(x,xn)](CI+ΩELM)−1L(12)
式中： ( x 1 , x 2 , … , x n ) (x_1 , x_2 , …, x_n ) (x1,x2,…,xn) 为给定训练样本， n n n 为样本数量. K ( ) K() K()为核函数。
正则化系数 C 和核函数参数 S 需要人为设定，两者的设定将对 KELM的预测性能具有一定影响。
2.回归问题数据处理
采用随机法产生训练集和测试集，其中训练集包含 1 900 个样 本，测试集包含 100 个样本。为了减少变量差异较大对模型性能的影响，在建立模型之前先对数据进行归一化。选取核函数为rbf 高斯核函数，利用蜣螂算法对正则化系数 C 和核函数参数 S 选取进行优化。
4.基于蜣螂算法优化的KELM
蜣螂算法的具体原理参考博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/128280084。
由前文可知，本文利用蜣螂算法对正则化系数 C 和核函数参数 S 进行优化。适应度函数设计为训练集的误差的MSE：
f i t n e s s = a r g m i n ( M S E p r i d e c t ) fitness = argmin(MSE_{pridect}) fitness=argmin(MSEpridect)
适应度函数选取训练后的MSE误差。MSE误差越小表明预测的数据与原始数据重合度越高。最终优化的输出为最佳正则化系数 C 和核函数参数 S。然后利用最佳正则化系数 C 和核函数参数 S训练后的网络对测试数据集进行测试。
5.测试结果
训练集DBO-KELM 的MSE:0.0050262
训练集KELM 的MSE:0.42921
测试集DBO-KELM 的MSE:0.0096058
测试集KELM 的MSE:0.5759
可以看出无论是在测试集和训练集上蜣螂优化的KELM结果均更优。