OpenJudge NOI 2.1 7623:五户共井问题

【题目链接】

OpenJudge NOI 2.1 7623:五户共井问题

【题目考点】

1. 枚举

【解题思路】

设井深为h，A、B、C、D、E家的绳长分别为a、b、c、d、e。
把输入的k自己乘以100，从以米为单位转为以厘米为单位。
先想最直接的枚举思路

• 枚举对象：h, a, b, c, d, e
• 枚举范围：
  $1\le h\le k$
  $1\le a,b,c,d,e\le h$
• 判断条件：同时满足：
  $a\cdot n_1+b=h$,
  $b\cdot n_2+c=h$
  $c\cdot n_3+d=h$
  $d\cdot n_4+e=h$
  $e\cdot n_5+a=h$
  且a, b, c, d, e互不相等

若以这种方法做枚举，那么h要从1枚举到k（k单位为厘米时，最大2000），a~e都要从1枚举到h，最大枚举次数为$1^5+2^5+...+2000^5$，该枚举次数显然是不可接受的。

观察该方程组，共有6个未知数5个方程，只要确定其中一个未知数后，就可以解方程。不过那样解方程比较麻烦。比较方便的做法是确定两个未知数。

• 枚举对象：h, a

• 枚举范围：
  $1\le h\le k$
  因为$b>0$，且$a\cdot n_1+b=h$，所以有$a>0$且$a\cdot n1<h$
  h与a的值已确定：

  1. 根据$a\cdot n_1+b=h$就可以确定b的值。
  2. 根据$b\cdot n_2+c=h$就可以确定c的值。
  3. 根据$c\cdot n_3+d=h$就可以确定d的值。
  4. 根据$d\cdot n_4+e=h$就可以确定e的值。

• 判断条件：
  判断$e\cdot n_5+a=h$是否成立。且a, b, c, d, e互不相等。

当k为2000，$n_1$为1时，总枚举次数为$1+2+...+2000=(1+2000)\ast 2000/2=2001000$，可以接受。

【题解代码】

解法1：枚举

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    
    
	int k, n1, n2, n3, n4, n5;
	cin >> k >> n1 >> n2 >> n3 >> n4 >> n5;
	k *= 100;//单位变为厘米 
	for(int h = 1; h <= k; ++h)
		for(int a = 1; a*n1 < h; ++a)
		{
    
    
			int b = h-a*n1, c = h-b*n2, d = h-c*n3, e = h-d*n4;
			if(a != b && a != c && a != d && a != e && b != c && 
			   b != d && b != e && c != d && c != e && d != e && e*n5+a == h)
			{
    
    
				cout << h << ' ' << a << ' ' << b << ' ' << c << ' ' << d << ' ' << e; 
				return 0;
			}
	}
	cout << "not found";
	return 0;
}