OpenJudge NOI 2.1 8755:砝码称重

【题目链接】

OpenJudge NOI 2.1 8755:砝码称重

【题目考点】

1. 枚举

2. 深搜

【解题思路】

1. 枚举

设重量为1g、2g、3g、5g、10g、20g的砝码的总数量分别为：$a_1,a_2,a_3,a_5,a_{10},a_{20}$，选择使用的砝码数量分别为：$i_1,i_2,i_3,i_5,i_{10},i_{20}$，
设bool类型的vis数组，vis[i]为真表示可以称出重量i。

• 枚举对象：$i_1,i_2,i_3,i_5,i_{10},i_{20}$
• 枚举范围：
  $0\le i_1\le a_1$
  $0\le i_2\le a_2$
  $0\le i_3\le a_3$
  $0\le i_5\le a_5$
  $0\le i_{10}\le a_{10}$
  $0\le i_{20}\le a_{20}$
• 判断条件：
  当前可以称出的重量为$i_1+2i_2+3i_3+5i_5+10i_{10}+20i_{20}$，在vis数组中记录可以称出该重量。

可以称出的重量最小为1，最大为1000。最后遍历vis数组，看下标1~1000中有多少个元素为真，统计可以称出的重量的个数。

复杂度分析
已知所有砝码总重量不超过1000，即
$a_1+2a_2+3a_3+5a_5+10a_{10}+20a_{20}\le 1000$
每层循环都是从0遍历到该砝码的总数量，所以循环次数为$1+a_i$
求$(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)(1+a_5)(1+a_{10})(1+a_{20})$的最大值。
该问题可以使用动态规划的方法求解：
记$w_1=1,w_2=2,w_3=3,w_4=5,w_5=10,w_6=20$
$a_i$表示重量为$w_i$的砝码数量。

• 集合：$a_1\sim a_6$这6个数字所有可能的取值
• 限制：关注前i个数字，${\sum }_{k=1}^i{a}_k{w}_k$小于等于多少
• 属性：乘积式${\prod }_{k=1}^i(1+a_k)$
• 条件：最大
• 统计量：乘积式${\prod }_{k=1}^i(1+a_k)$

状态定义：dp[i][j]：$a_1{w}_1+a_2{w}_2+...+a_i{w}_i\le j$情况下$(a_1+1)(a_2+1)...(a_i+1)$的最大值。
或者可以描述为：满足${\sum }_{k=1}^i{a}_k{w}_k\le j$的${\prod }_{k=1}^i(1+a_k)$的最大值。
初始状态：j为0时，要让$a_1{w}_1+a_2{w}_2+...+a_i{w}_i\le 0$，那么$a_1,a_2,...,a_i$都要为0，此时乘积式$(a_1+1)(a_2+1)...(a_i+1)$为1。因此dp[i][0]=1。

集合：满足$a_1{w}_1+a_2{w}_2+...+a_i{w}_i\le j$的$a_1,a_2,...,a_i$的取值方案。

分割集合：根据$a_i$的值来分割集合

• $a_i=0$：dp[i][j] = dp[i-1][j]*(0+1)

• $a_i=1$：dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]*1]*(1+1)

• $a_i=2$：dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]*2]*(1+2)
  …

• $a_i=k$：dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]*k]*(1+k)

• k最小为0，最大为$\lfloor j/w_i\rfloor$

• 以上所有情况取最大值

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[10][1005];//dp[i][j]:a[1]*w[1]+...+a[i]*w[i] <= j情况下(a[1]+1)*(a[2]+2)*...*(a[i]+1)的最大值。
int w[10] = {
    
    0, 1, 2, 3, 5, 10, 20};
int main()
{
    
    
	for(int i = 1; i <= 6; ++i)
		dp[i][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= 6; ++i)
		for(int j = 1; j <= 1000; ++j)
			for(int k = 0; k <= j/w[i]; ++k)//j/w[i]在整除运算情况下得到的就是floor(j/w[i]) 
				dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-w[i]*k]*(1+k));
	cout << dp[6][1000]; 
	return 0;
}

运行结果为：64827000， 是$10^7$数量级。
总循环次数是$10^7$数量级，是可以接受的。

2. 深搜

与枚举思路相似，将每种砝码的总数量放在一个数组a中，每层搜索可以确定选择一种砝码的数量，每种砝码的数量都确定后，看所有选择砝码的总重量。如果该重量没有出现过，则进行计数。
注意：不选择砝码总重量为0的情况也会被计数，需要将该情况去掉。
最后输出可以称出的重量的数量。

【题解代码】

解法1：枚举

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    
    
	bool vis[1005] = {
    
    };//vis[i]:重量i是否可以称出 
	int a1, a2, a3, a5, a10, a20, ct = 0;//ax：重量为x的砝码的总数量 ct：可以称出的重量的种类数
	cin >> a1 >> a2 >> a3 >> a5 >> a10 >> a20;
	for(int i1 = 0; i1 <= a1; ++i1)//ix：选择使用重量为x的砝码的数量
	for(int i2 = 0; i2 <= a2; ++i2)
	for(int i3 = 0; i3 <= a3; ++i3)
	for(int i5 = 0; i5 <= a5; ++i5)
	for(int i10 = 0; i10 <= a10; ++i10)
	for(int i20 = 0; i20 <= a20; ++i20)
		vis[i1+2*i2+3*i3+5*i5+10*i10+20*i20] = true;
	for(int i = 1; i <= 1000; ++i)
		if(vis[i])
			ct++;
	cout << "Total=" << ct;
	return 0;
}

解法2：深搜

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool vis[1005];//vis[i]:重量i是否可以称出
int w[10] = {
    
    0, 1, 2, 3, 5, 10, 20};//w[i]:下标为i对应的砝码重量 
int a[10], ct;//a[i]：表示重量为w[i]的砝码的数量为a[i] 
int sum;//当前已选择砝码的总重量 
void dfs(int k)//确定选择重量为w[k]的砝码的数量
{
    
    
	if(k > 6)
	{
    
    
		if(vis[sum] == false)
		{
    
     
			vis[sum] = true;//已经确定了6种砝码的数量，记录当前总重量
		 	ct++;
		}
		return;
	}
	for(int i = 0; i <= a[k]; ++i)
	{
    
    
		sum += i*w[k];
		dfs(k+1); 
		sum -= i*w[k];
	}
} 
int main()
{
    
    
	for(int i = 1; i <= 6; ++i)
		cin >> a[i];
	dfs(1); 
	ct--;//减去总重量为0的情况 
	cout << "Total=" << ct;
	return 0;
}