【题目链接】
OpenJudge NOI 2.4 8463:Stupid cat & Doge
【题目考点】
1. 递归
2. 分形图
【解题思路】
解法1：递归
1级正方形边长是 2 1 2^1 21，2级正方形边长为 2 2 2^2 22，。。。，n级正方形边长为 2 n 2^n 2n，总格子数量为 2 n ∗ 2 n = 2 2 n 2^n*2^n=2^{2n} 2n∗2n=22n，n最大为31，因此房屋（格子）编号最大为 2 2 ∗ 31 = 2 62 2^{2*31}=2^{62} 22∗31=262，int类型无法保存该数值，需要使用long long类型。（long long类型范围： − 2 63 ∼ 2 63 − 1 -2^{63}\sim 2^{63}-1 −263∼263−1)
先假设n级正方形中的每个一级正方形都是开口向左的，也就是图中等级1的样子：
以2级正方形为例，可以先把2级正方形想成如下样子
接下来需要做一些转化，才能变为目标图形。
首先左上角需要转成开口向上的图形，按道路行进顺序走第几个格子的位置也随之发生变化。经过观察可知，该变化过程是沿主对角线（左上右下）进行翻转的过程。
观察主对角线两边对应位置，举出例子
| 左下方格子 | 右上方格子 |
|---|---|
| 0,0 | 0,0 |
| 1,0 | 0,1 |
| n-1,0 | 0,n-1 |
| n-1,1 | 1, n-1 |
设结构体
struct Pair
{
long long x, y;
};
表示一个位置，有Pair p, r，p是翻折前的位置，r是翻折后的位置。
因此该规律也可以表示为r.x = p.y, r.y = p.x
左下需要转成开口向下的图形，按道路行进顺序走第几个格子的位置也随之发生变化。经过观察可知，该变化过程是沿副对角线（右上左下）进行翻转的过程。
观察副对角线两边对应位置，举出例子
| 左上方格子 | 右下方格子 |
|---|---|
| 0,0 | n-1,n-1 |
| 1,0 | n-1,n-2 |
| n-1,0 | n-1,0 |
| n-2,0 | n-1, 1 |
位置r翻折后是在位置r，观察后得到规律：p.x+r.y = p.y+r.x = n-1
因此关于副对角线翻折r.x = n-p.y-1, r.y = n-p.x-1。
分析递归：
递归问题：在等级n的正方形中找到数值val的位置（等级n的正方形共有 2 2 n 2^{2n} 22n个格子，格子上的数值分别为 0 ∼ 2 2 n − 1 0\sim2^{2n}-1 0∼22n−1，val值的范围也是： [ 0 , 2 2 n − 1 ] [0, 2^{2n}-1] [0,22n−1])
递归关系：
先假设当前等级n的正方形中的4个等级为n-1的小正方形都是开口向左的图形。和1级正方形一样。小正方形编号从0开始数，第0个小正方形在左上方，第1个小正方形在右上方，第2个在右下方，第3个在左下方。
等级n的正方形边长为 2 n 2^n 2n，总格子个数为 2 2 n 2^{2n} 22n，一共包含4个等级n-1的小正方形，小正方形边长sl为 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1，小正方形的格子个数sn为 2 2 ( n − 1 ) 2^{2(n-1)} 22(n−1)。
先确定数值val在第几个小正方形中，
| 第几个小正方形 | 数值范围 |
|---|---|
| 0 | [0, sn) |
| 1 | [sn, 2*sn) |
| 2 | [2*sn, 3*sn) |
| 3 | [3*sn, 4*sn) |
因此val所在等级n-1的小正方形的编号为：val/sn（整除运算)，在这个小正方形中，要找的数值为val%sn（取模运算）
递归调用该函数，在第val/sn个正方形中找到数值val%sn的位置，为p。
r为调整后在等级为n的大正方形中val的位置。
- 如果val在第0个等级为n-1的小正方形中，那么需要对位置p按照小正方形的主对角线进行翻折，即
r.x = p.y, r.y = p.x。 - 如果val在第1个等级为n-1的小正方形中，那么val在右上方的格子中，位置p需要向右移动小正方形边长sl个格子，即
r.x = p.x, r.y = p.y+sl - 如果val在第2个等级为n-1的小正方形中，那么val在右下方的格子中，位置p需要向右和向下分别移动小正方形边长sl个格子，即
r.x = p.x + sl, r.y = p.y + sl - 如果val在第3个等级为n-1的小正方形中，那么需要对位置p先按照小正方形的副对角线进行翻折
r.x = n-p.y-1, r.y = n-p.x-1，而后向下移动sl个格子r.x += sl，整合为：r.x = sl-1-p.y+sl, r.y = sl-1-p.x
返回位置r。
递归出口：如果等级n为0，那么边长只有1，返回位置(0,0)。
根据上述算法写出递归函数Pair find(int n, long long val)，使用该函数，传入猫和狗的房屋编号减一（因为题目给定的房屋编号是从1开始的，我们定义的val是从0开始的），即可求得猫和狗的位置。
得到两只动物的位置后，调用两点间距离公式
d i s ( a , b ) = ( a . x − b . x ) 2 + ( a . y − b . y ) 2 dis(a, b) = \sqrt{(a.x-b.x)^2+(a.y-b.y)^2} dis(a,b)=(a.x−b.x)2+(a.y−b.y)2，乘上单位“10米”，再四舍五入取整，即可得到最终结果。
【注意】四舍五入取整，可以使用printf("%.0f", a)来完成，或者自己写取整函数
long long myRound(double a)
{
return a+0.5;//返回时自动强转为long long
}
都可以。
该题惟独不能用<cmath>中的round()函数！！！，用了就报错，我也不知为什么。
【题解代码】
解法1：递归
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
struct Pair
{
LL x, y;
Pair(){
}
Pair(LL a, LL b):x(a), y(b){
}
};
Pair find(int n, LL val)//在等级n的正方形中查找数值val的位置。val的值为0~2^(2*n)-1
{
if(n == 0)
return Pair(0,0);
LL sl = 1 << (n-1), sn = sl*sl;//sl:小正方形边长2^(n-1) sn:小正方形的元素个数
Pair p = find(n-1, val%sn), r;//val%sn:在小正方形中的数值 p:val在小正方形中的位置 r:val在大正方形中的位置
switch(val/sn)//val/sn:val在第几(0,1,2,3)个小正方形中
{
case 0://关于主对角线轴对称
r.x=p.y, r.y=p.x;
break;
case 1://左上平移到右上
r.x = p.x, r.y = p.y + sl;
break;
case 2://左上平移到右下
r.x = p.x + sl, r.y = p.y + sl;
break;
case 3://关于副对角线轴对称 p.x+r.y=p.y+r.x=sl-1，再向下移动sl,
r.x = sl-1-p.y+sl, r.y = sl-1-p.x;
break;
}
return r;
}
double getDis(Pair a, Pair b)
{
return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
LL myRound(double a)
{
return a+0.5;//返回时强转为LL
}
int main()
{
LL t, n, s, d;//注意：s, d必须声明为LL
cin >> t;
while(t--)
{
cin >> n >> s >> d;
Pair pCat = find(n, s-1), pDog = find(n, d-1);
cout << myRound(getDis(pCat, pDog)*10) << endl;//注意，不能用<cmath>中的round函数，用了就报错。
}
return 0;
}