移动通信：数字调制技术（BPSK, DPSK, QPSK, Π/4 QPSK，BFSK, MSK, GMSK, M-ary）学习笔记

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调制就是对信息源进行编码的过程，使得其适合信道传输。它通常涉及将低频段的基带信号（叫做 modulating signal）转换为高频段的带通信号（叫做 modulated signal）。通常，我们可以通过改变基带信号的振幅（amplitude）、频率或者相位来进行调制。

在数字无线通信系统中，调制信号可以表示为符号或脉冲的时间序列，其中每个符号有 $m$ 个有限状态，每个符号代表 $n$ 比特的信息：$n={\log }_{2}m$ bits/symbol. 数字调制相比模拟调制（AM、FM）有更好的性能，且性价比更高，对噪声抵抗力也更强。

Factors That Influence the Choice of Digital Modulation

一个理想的调制方案可以在低接收信噪比的情况下提供低误码率（bit error rate， BER），在多径和衰减条件下表现良好，占用最小的带宽，并且易于实现，具有成本效益。但我们很难找到一个同时满足以上要求的完美调制技术。

通常，一个调制技术的性能可以通过它的功率效率（power efficiency）或者带宽效率（bandwidth efficiency）来衡量。

功率效率刻画了调制技术在低功率情况下保持数字信息保真度（fidelity）的能力。在数字通信系统中，为了提高抗噪声能力，有必要提高信号功率。然而，为了获得一定的保真度（即可接受的 BER），应该增加多少信号功率取决于所采用的特定类型的调制。功率效率（或者有时也叫能量效率）${\eta }_p$，就是在衡量 fidelity 以及 power 之间的 tradeoff，它是在特定误码率条件下（如 $10^{-5}$），每比特信号能量与噪声功率谱密度之间的比值：
$${\eta }_p=\frac{E_b}{N_0}$$

带宽效率描述了一个调制技术在有限带宽内容纳数据的能力。一般来说，提高数据率意味着减少数字符号的脉冲宽度，从而增加了信号的带宽。因此，数据率和带宽占用之间存在着不可避免的关系。如果 $R_b$ 是单位时间内传输的比特数，$B$ 是 modulated 信号占用的带宽（pulse shaping 之后），那么带宽效率定义为：
$${\eta }_B=\frac{R_b}{B}\mathrm{b}\mathrm{p}\mathrm{s}/\mathrm{H}\mathrm{z}$$

数字移动通信系统的系统容量与调制方案的带宽效率直接相关，因为在给定的频谱分配中，具有较大 ${\eta }_B$ 值的调制方案将传输更多的数据。

带宽效率有一个基本的上限。香农信道编码定理指出，对于一个任意小的错误概率，最大可能的带宽效率受到信道噪声的限制，并由信道容量公式给出。要注意的是，香农限适用于 AWGN 非衰减信道。最大带宽效率计算如下：
$${\eta }_{Bmax}=\frac{C}{B}={\log }_2\left(1+\frac{S}{N}\right)$$

其中，$C$ 为信道容量，$S/N$ 为信噪比。

在调制方案的选择中，我们可能经常需要在功率效率与带宽效率之间做一些 tradeoff。例如，在信息中加入差错控制编码会增加带宽占用率（即会降低带宽效率），但同时也会降低特定误码率下所需的接收功率，因此相当于用带宽效率换取功率效率。此外，更高阶的调制方案（M-ary keying）减少了带宽占用，但增加了所需的接收功率，因此相当于用功率效率换取带宽效率。

除了刚刚提到的单位时间内传输的比特数（bit rate） $R_b$，我们再介绍几个与之相关的量：

• bit period $T_b$：传输一比特所需的时间
• symbol rate $R_s$：单位时间内传输的符号数
• symbol duration $T_s$：传输一个符号所需的时间

我们开头提到过，每个符号代表 $n$ 比特信息，因此有
$$R_b=R_s\cdot n=R_s\cdot {\log }_{2}M$$

$$T_b=T_s/n$$

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Bandwidth and Power Spectral Density of Digital Signals

不同的应用对信号带宽的定义可能会有所不同，但它们或多或少都会考虑信号的功率谱密度（power spectral density，PSD）。一个随机信号 $w(t)$ 的 PSD 定义为：
$$P_w(f)=\underset{T\to \infty }{\lim }\left(\frac{\overline{|W_T(f){|}^2}}{T}\right)$$

其中，$W_T(f)$ 是 $w_T(t)$ 的傅里叶变换，$w_T(t)$ 定义为
$$w_T(t)=\{\begin{array}{rlr}& w(t),& -T/2<t<T/2\\ & 0,& \mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\end{array}$$

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Pulse Shaping Techniques

当矩形脉冲通过一个带限信道时，脉冲会在时间上扩散，每个符号的脉冲会被扩散到后续符号的时间间隔中。 这会导致符号间干扰（lSI），并导致接收器在检测符号时出错的概率增加。

奈奎斯特是第一个解决在保持低传输带宽的同时克服符号间干扰问题的人[Nyq28]。他观察到，如果通信系统（包括发射器、信道和接收器）的整体响应被设计成，在接收器的每个采样瞬间，除当前符号外的所有符号响应都为 0，那么 ISI 就可以被完全消除。即，如果 $h_{eff}(t)$ 是整个系统的时域冲激响应，那么满足的条件（Nyquist condition）为
$$h_{eff}(n{T}_s)=\{\begin{array}{rlr}& K,& n=0\\ & 0,& n\ne 0\end{array}$$

满足上述条件的一个冲击响应为
$$h_{eff}(t)=\frac{sin(\pi t/T_s)}{\pi t/T_s}$$

对应的傅里叶变换为
$$H_{eff}(f)=T_s\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{f}{1/Ts}\right)$$

尽管该函数看起来完美的满足了奈奎斯特条件，但在实际中我们很难实施它，因为它对应的是一个非因果系统，且 $sin(t)/t$ 函数在每个过零点处的斜率都为 $1/t$，仅仅只在 $T_s$ 的整数倍处为 0，因此，如果采样时间有任何偏差，都会造成严重的 ISI。我们可能更希望斜率为 $1/t^2$、$1/t^3$ 等等。

一种替代方法为升余弦滤波器（Raised-Cosine Filter，RFC），用滚降特性代替原来陡峭的边沿（通过滚降因子 $\alpha$ 来控制）。

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Geometric Representation of Modulation Signals

数字调制会根据信息流比特从有限的可能信号波形（或符号）集中选择一个特定的信号波形$s_i(t)$。如果总共有 M 个可能的信号，调制信号集 S 可以表示为
S = { s 1 ( t ) , s 2 ( t ) , … , s M ( t ) } S=\{s_1(t),s_2(t),\dots,s_M(t)\} S={ s1​(t),s2​(t),…,sM​(t)}

对于二进制的调制机制，很简单，每个二进制比特都会对于一个信号，所以 $S$ 只包含两个信号（符号）。对于更高阶的调制（M-ary keying），每个信号最多传输的比特数为 ${\log }_{2}M$。

我们可以将 $S$ 中的元素当作向量空间中的点。在一个向量空间中任何有限的物理上可实现的波形集可以表示为 N 个正交波形的线性组合，这些波形构成该向量空间的基底。为了在一个向量空间上表示调制信号，必须找到一组构成该向量空间基底的信号。一旦确定了基底，该向量空间的任何一点都可以表示为基底的线性组合：
$$s_i(t)=\sum _{j=1}^N{s}_{ij}{\varphi }_j(t)$$

基底信号互相正交：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\varphi }_i(t){\varphi }_j(t)dt=0,i\ne j$$

且每个基底都被归一化：
$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }{\varphi }_i^2(t)dt=1$$

考虑 BPSK，$S$ 中的两个信号 $s_1$、$s_2$ 分别为
$$s_1(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos (2\pi f_{c}t),0\le t\le T_b$$

$$s_2(t)=-\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos (2\pi f_{c}t),0\le t\le T_b$$

那么基底信号就为
$${\varphi }_1(t)=\sqrt{\frac{2}{T_b}}\cos (2\pi f_{c}t),0\le t\le T_b$$

调制信号集就可以等价的表示为

$$S_{\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{K}}=\left\{\sqrt{E_b}{\varphi }_1(t),-\sqrt{E_b}{\varphi }_1(t)\right\}$$

画出来就是下面这样，叫做星座图（constellation diagram）:

星座图上信号之间的距离与调制波形的差异程度有关，并反映在存在随机噪声的情况下，接收器能区分这些符号的程度。

调制方案的一些特性可以从其星座图中推断出来。 例如，调制信号所占用的带宽随着信号点/维数的增加而减少。因此，如果一个调制方案的星座图上信号点非常密集，那么它就比星座图稀疏的调制方案更节省带宽。

另一方面，星座图越稠密，BER 也会越高（符号间更难以区分）。

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Linear Modulation Techniques

数字调制技术可大致分为线性和非线性。在线性调制技术中，传输信号 $s(t)$ 的振幅随 modulating 信号 $m(t)$ 呈线性变化。线性调制技术的带宽效率高，在无线通信系统中非常有吸引力，因为在有限的频谱内容纳越来越多的用户的需求越来越大。

传输信号 $s(t)$ 可以写为
$$\begin{array}{rl}s(t)& =Re[Am(t)\exp (j2\pi f_{c}t)]\\ & =A[m_R(t)cos(2\pi f_{c}t)-m_I(t)sin(2\pi f_{c}t)]\end{array}$$

其中 $m(t)=m_R(t)+j{m}_I(t)$，代表 modulated 信号的复包络。

BPSK

在 BPSK 中，恒定振幅载波信号的相位根据分别对应二进制 1 和 0 的两个可能信号 $m_1$ 和 $m_2$ 在两个值之间切换。通常情况下，这两个相位相隔 180°。如果载波信号的振幅为 $A_c$，每比特能量为 $E_b=1/2A_c^2{T}_b$，那么传输的 BPSK 信号可写为
$$s_{\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{K}}(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos \left(2\pi f_{c}t+{\theta }_c\right)0\le t\le T_b\text{ (binary 1) }$$

$$\begin{array}{rl}{s}_{\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{K}}(t)& =\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos \left(2\pi f_{c}t+\pi +{\theta }_c\right)\\ & =-\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos \left(2\pi f_{c}t+{\theta }_c\right)0\le t\le T_b\text{ (binary 0) }\end{array}$$

BPSK 信号的 PSD：

可以发现零点到零点带宽（null-to-null bandwidth）为两倍的比特率：$BW=2R_b$

BPSK 的解调：

不考虑多径传输的影响，接收到的 BPSK 信号形式可写为
$$\begin{array}{rl}{s}_{\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{K}}(t)& =m(t)\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos \left(2\pi f_{c}t+{\theta }_c+{\theta }_{ch}\right)\\ & =m(t)\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos \left(2\pi f_{c}t+\theta \right)\end{array}$$

其中，${\theta }_{ch}$ 由信道时延造成。解调过程如下图所示：

其中，最后一步的操作可理解为
$${\int }_0^{T_b}{\left(\sqrt{\frac{2}{T_b}}\cos {\omega }_{c}t\right)}^{2}dt=\frac{2}{T_b}{\int }_0^{T_b}{\cos }^2{\omega }_{c}tdt=\frac{2}{T_b}\times \frac{1}{2}{T}_b=1$$

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Differential Phase Shift Keying (DPSK)

DPSK 是一种非相干形式的相移键控，它避免了在接收器处对相干参考信号的需要。非相干接收器很容易建立，也很便宜，因此在无线通信中被广泛使用。在 DPSK 系统中，首先对输入的二进制序列进行差分编码，然后用 BPSK 调制器进行调制。

差分编码序列 { $d_k$} 是从输入二进制序列 { $m_k$} 中产生的：
$$d_k=\overline{m_k\oplus d_{k-1}}$$

这样运算的实质是，如果过来的 $m_k$ 是 1，那么 $d_k$ 保持不变，即 $d_k=d_{k-1}$，只有 $m_k=0$ 时，$d_k$ 才会改变。相应的，$m_k$ 可以通过 $d_k$ 反向得出：
$$m_k=\overline{d_k\oplus d_{k-1}}$$

差分编码的一个示例如下：

虽然 DPSK 可以降低接收器复杂性，但其能效比相干 PSK 低大约 3dB。

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QPSK

QPSK 的带宽效率是 BPSK 的两倍，因为在一个调制符号中传输两个比特。载波的相位有四个等距的数值，如 $0,\pi /2,\pi ,3\pi /2$，其中每个相位值对应一对唯一的信息比特。因此，QPSK 的传输信号可以定义为
$$s_{QPSK}(t)=\sqrt{\frac{2E_s}{T_s}}\cos \left[2\pi f_{c}t+(i-1)\frac{\pi }{2}\right]0\le t\le T_{s}i=1,2,3,4$$

上式可以进一步写为
$$\begin{array}{rl}{s}_{\mathrm{Q}\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{K}}(t)=& \sqrt{\frac{2E_s}{T_s}}\cos \left[(i-1)\frac{\pi }{2}\right]\cos \left(2\pi f_{c}t\right)\\ & -\sqrt{\frac{2E_s}{T_s}}\sin \left[(i-1)\frac{\pi }{2}\right]\sin \left(2\pi f_{c}t\right)\end{array}$$

如果我们定义基底信号为 ${\varphi }_1(t)=\sqrt{\frac{2}{T_s}}\cos (2\pi f_{c}t)$，${\varphi }_2(t)=\sqrt{\frac{2}{T_s}}\sin (2\pi f_{c}t)$，那么 QPSK 的调制信号集合可以表达为
$$s_{QPSK}(t)=\left\{\sqrt{E_s}\cos \left[(i-1)\frac{\pi }{2}\right]{\varphi }_1(t)-\sqrt{E_s}\sin \left[(i-1)\frac{\pi }{2}\right]{\varphi }_2(t)\right\}i=1,2,3,4$$

所以 QPSK 的星座图如下：

从星座图中我们可以看出相邻点之间的距离为 $\sqrt{2E_s}$，因为每个符号对应两比特，所以有 $E_s=2E_b$，因此距离又可写为 $2\sqrt{E_b}$。这个距离和 BPSK 是一样的，QPSK 和 BPSK 有相同的 BER！但 QPSK 可以在相同的带宽里传输两倍的数据。所以 QPSK 的带宽效率为 BPSK 的两倍，零点到零点带宽变为 $BW=R_b=2R_s$。QPSK 的 PSD 如下图：

QPSK 信号的振幅在理想情况下是恒定的。然而，当 QPSK 信号经过 pulse shaping 后，它们失去了恒定包络的特性。$\pi$ 弧度的相移会导致信号包络在一瞬间通过零。任何在过零点处的非线性方法会将之前过滤掉的旁瓣再次带回来。为了防止旁瓣的再生和频谱变宽，使用脉冲整形的 QPSK 信号必须只使用效率较低的线性放大器进行放大。

QPSK的一种改进形式，称为偏移 QPSK（OQPSK），不太容易受到这些影响，所以可以支持更有效的放大。也就是说，OQPSK 确保放大器面对较少的 sharp phase transition，这有助于消除放大后的频谱再生。

OQPSK 与 QPSK 的调制过程类似，除了偶数和奇数比特流的时间对齐。在 QPSK 中，偶数和奇数比特流的比特转换发生在同一时间，但在 OQPSK 中，偶数和奇数比特流 $m_I(t)$ 和 $m_Q(t)$ 在其相对排列上偏移一个比特周期（半符号周期）。

在 QPSK 中，因为 $m_I(t)$ 和 $m_Q(t)$ 对齐，相位会每 $T_s=2T_b$ 时间变化一次，且最大会有 $\pi$ 弧度的转变（$m_I(t)$ 和 $m_Q(t)$ 同时改变）。但在 OQPSK 中，相位每 $T_b$ 时间就变化一次，且在相位变化时，$m_I(t)$ 和 $m_Q(t)$ 中只会有一个发生改变，所以最大的相位改变不会超过 $\pi /2$。

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$\pi /4$ QPSK

$\pi /4$ QPSK 是在 QPSK 与 OQPSK 中的一个折中方案，它允许的最大相移为 135°。$\pi /4$ QPSK 的一个好处在于它可以在收端非相干解调，简化接收器设计。且对于多径以及衰减，$\pi /4$ QPSK 相比 OQPSK 有更好的性能。

很多时候，$\pi /4$ QPSK 信号会被差分编码，以方便在恢复的载波中存在相位模糊时实现差分检测或相干解调。这时，$\pi /4$ QPSK 也叫做 $\pi /4$ DQPSK。

在 $\pi /4$ QPSK 中，调制信号点从两个 QPSK 星座图中选择，这两个星座图相对于彼此移位了 $\pi /4$，如下图所示：

具体的选取我们可以这样理解，每隔 $T_s=2T_b$，$\pi /4$ QPSK 信号点就需要在图 (a) 与图 (b) 之间互换。也就是说，如果当前的信号点属于图 (a)，那么 $T_s$ 后的信号点必须要属于图 (b)，这样就做到了 135°的最大相位差。

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Constant Envelope Modulation

许多实用的移动无线电通信系统使用非线性调制方法，其中载波的振幅是恒定的，与 modulating 信号的变化无关。恒定包络调制的优点包括：

• 可以使用功率高效的 C 类放大器，而不会在传输信号的频谱占有率方面造成退化；
• 可以实现 -60 dB 至 -70 dB 的低带外辐射（out-of-band radiation）；
• 可以使用限幅鉴频检测，简化接收器的设计，并对随机调频噪声和瑞利衰减引起的信号波动有很高的抵抗力。

虽然恒定包络调制有许多优点，但它们相比线性调制会占用更大的带宽。在带宽效率比功率效率更重要的情况下，恒定包络调制并不是非常适合。

Binary Frequency Shift Keying（BFSK）

在 BFSK 中，恒定振幅载波信号的频率根据两种可能的信息状态在两个值之间切换，对应于二进制的 1 或 0。 根据频率变化被传入传输波形的方式，FSK 信号在比特之间会有不连续的相位或连续的相位。一般来说，一个 FSK 信号可以表示为

$$s_{FSK}(t)=v_H(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos (2\pi f_c+2\pi \Delta f)t0\le t\le T_b(\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}1)$$

$$s_{FSK}(t)=v_L(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos (2\pi f_c-2\pi \Delta f)t0\le t\le T_b(\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}0)$$

产生 FSK 信号的一个方法是根据比特位是 0 还是 1 在两个独立的振荡器之间进行切换。 通常，这种形式的 FSK 产生的波形在切换时刻是不连续的，因此这种类型的 FSK 被称为不连续 FSK。一个不连续的 FSK 信号可以表示为

$$s_{FSK}(t)=v_H(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos (2\pi f_{H}t+{\theta }_1)0\le t\le T_b(\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}1)$$

$$s_{FSK}(t)=v_L(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos (2\pi f_{L}t+{\theta }_2)0\le t\le T_b(\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}0)$$

所以调制频率为
$$f_c=\frac{f_H+f_L}{2}$$

频偏
$$f_d=\frac{f_H-f_L}{2}$$

调制系数（modulation index）
$$h=2f_d{T}_b=\frac{f_H-f_L}{R_b}$$

相位不连续会带来一系列问题，如频谱扩散，因此这种类型的 FSK 一般不用于高度规范的无线系统。产生 FSK 信号的更常见方法是使用信息波形对单一载波振荡器进行频率调制。这种调制方式类似于 FM，只是调制信号 $m(t)$ 是一个二进制波形。因此，FSK 可以表示为：
$$\begin{array}{rl}{s}_{\mathrm{F}\mathrm{S}\mathrm{K}}(t)& =\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos \left[2\pi f_{c}t+\theta (t)\right]\\ & =\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos \left[2\pi f_{c}t+2\pi k_f{\int }_{-\infty }^{t}m(\eta )d\eta \right]\end{array}$$

虽然 $m(t)$ 在比特转换时是不连续的，但相位函数 $\theta (t)$ 与 $m(t)$ 的积分成正比，所以是连续的。

BFSK 的相干解调：

Minimum Shift Keying (MSK)

最小移位键控（MSK）是一种特殊类型的连续相位频移键控（CPFSK），其最大频移 $f_d$ 等于比特率的 $1/4$。换句话说，MSK 是调制指数为 0.5 连续相位 FSK，即相当于

$$f_H=f_c+1/4R_b,f_L=f_c-1/4R_b$$

调制指数为 0.5 对应着允许两个 FSK 信号相干正交的最小频率间隔，MSK 这个名字意味着允许正交检测的最小频率间隔（即带宽）。两个 FSK 信号是正交的，如果它们满足
$${\int }_0^T{v}_H(t)v_L(t)dt=0$$

MSK 是一种频谱效率高的调制技术，在移动通信系统中非常受欢迎。它拥有恒定包络、高频谱效率、良好的误码率性能和自同步能力等特性。

下图对比了 MSK、QPSK、OQPSK 的 PSD：

MSK 频谱比 QPSK 和 OQPSK 具有更低的旁瓣。99% 的 MSK 功率包含在带宽 $B=1.2/T$ 内，而对于 QPSK 和 OQPSK，99% 的带宽 $B=8/T$。MSK 频谱的快速滚降是由于使用了更平滑的脉冲函数（半正弦脉冲）。我们从上图还可以看出，MSK 的主瓣比 QPSK 和 OQPSK 的主瓣更宽，因此当以零点到零点带宽进行比较时，MSK 的频谱效率低于 PSK。

Gaussian Minimum Shift Keying (GMSK)

GMSK 是一种简单的二进制调制方案，可以看作是 MSK 的扩展。在 GMSK 中，将调制的 NRZ 数据波形通过预调制的高斯脉冲整形滤波器，进一步降低了频谱的旁瓣强度。 基带高斯脉冲整形平滑了 MSK 信号的相位轨迹，从而稳定了瞬时频率的变化。

预调制高斯滤波将全响应信息信号（每个基带符号占用一个比特周期 $T_b$）转换为部分响应，每个传输符号跨越几个比特周期。在实践中，GMSK 因其出色的功率效率（由于恒定包络）和出色的频谱效率而大受欢迎。预调制的高斯滤波在传输信号中引入了 ISI，但可以证明，如果滤波器的 3dB 带宽和比特持续时间的乘积（BT）大于 0.5，则干扰不会太严重。GMSK 一般使用 BT=0.3，MSK 等价于 BT 趋于无穷的 GMSK。GMSK 牺牲了一定的 BER（BT 越小，BER 越大），以换取较好的频谱效率和恒定包络特性。

图源：Trilaksono, Bambang & Langi, Armein & Kurniawan, A. & Marpanaji, Eko & Mahendra, Andri & Liung, Thay. (2022). Software Architecture of Software-Defined Radio (SDR).

GMSK 预调制的滤波器响应为
$$h_G(t)=\frac{\sqrt{\pi }}{\alpha }\exp \left(-\frac{{\pi }^2}{{\alpha }^2}{t}^2\right)$$

对应的傅里叶变换（传输函数）为
$$H_G(f)=\exp (-{\alpha }^2{f}^2)$$

其中，参数 $\alpha$ 和 3dB 带宽 $B$ 有关，为：
$$\alpha =\frac{\sqrt{\ln 2}}{\sqrt{2}B}=\frac{0.5887}{B}$$

表中展示了 % power 和占用带宽的关系，0.52 表示 0.52 $R_b$。可以看到，GMSK 的频谱比 MSK 更紧密。

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Combined Linear and Constant Envelope Modulation Techniques (M-ary Modulation)

在 M-ary 调制中，两个或更多的比特被组合在一起形成符号，并在每个符号周期（$T_s$）内传输 M 个可能的信号之一，即 $s_1(t),s_2(t),\dots ,s_M(t)$。通常情况下，可能的信号数量为 $M=2^n$。取决于载波振幅、相位以及频率中的哪个发生变化，对应的调制技术称为 M-ary ASK，M-ary PSK，M-ary FSK。

M-ary 调制以牺牲功率效率为代价获得更好的带宽效率。例如，一个 8-PSK 系统需要的带宽比BPSK 系统小 ${\log }_{2}8=3$ 倍，但它的误码率性能却明显比 BPSK 差，因为信号在星座图中的排列更紧密。

M-ary Phase Shift Keying (MPSK)

在 MPSK 中，载波相位在 M 个可能值中选取，即 ${\theta }_i=2(i-1)\pi /M,i=1,2,\dots ,M$. 调制的传输信号为
$$s_i(t)=\sqrt{\frac{2E_s}{T_s}}\cos \left(2\pi f_{c}t+\frac{2\pi }{M}(i-1)\right),0\le t\le T_s,i=1,2,\dots ,M$$

上式可改写为：
$$\begin{array}{rl}{s}_i(t)=& \sqrt{\frac{2E_s}{T_s}}\cos \left[(i-1)\frac{2\pi }{M}\right]\cos \left(2\pi f_{c}t\right)i=1,2,\dots .,M\\ & -\sqrt{\frac{2E_s}{T_s}}\sin \left[(i-1)\frac{2\pi }{M}\right]\sin \left(2\pi f_{c}t\right)\end{array}$$

通过正交基底 ${\varphi }_1(t)=\sqrt{\frac{2}{T_s}}\cos (2\pi f_{c}t)$，${\varphi }_2(t)=\sqrt{\frac{2}{T_s}}\sin (2\pi f_{c}t)$，那么 M-ary PSK 调制信号集合可以表达为
$$s_{QPSK}(t)=\left\{\sqrt{E_s}\cos \left[(i-1)\frac{\pi }{2}\right]{\varphi }_1(t)-\sqrt{E_s}\sin \left[(i-1)\frac{\pi }{2}\right]{\varphi }_2(t)\right\}i=1,2,\dots ,M$$

BER Performance：

从上图中我们可以很容易的得出相邻符号间的距离为
$$d_{ij}=2\sqrt{E_s}\sin \left(\frac{\pi }{M}\right)$$

对于一个 M-ary PSK 系统，符号错误率满足
$$P_s\le \sum Q\left(\frac{d_{ij}}{\sqrt{2N_0}}\right)$$

其中，$Q(\cdot )$ 为

$$Q(x)={\int }_x^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{x^2}{2}\right)dx$$

如果采用格林编码，那么对应的 BER 可以表达为
$$P_B\approx \frac{P_s}{{\log }_{2}M}$$

因此如果是 BPSK，那么它的 BER 为
$$P_{e,BPSK}=Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)$$

M-ary Quadrature Amplitude Modulation (QAM)

在 M-ary PSK 调制中，传输信号的振幅被限制为保持不变，从而产生了一个圆形的星座图。通过允许振幅随相位变化，我们可以得到一种新的调制方案，称为正交振幅调制（QAM）。 下图是 16-QAM 的星座图，该星座图为正方形。

一个M-ary QAM 信号的一般形式可以定义为
$$s_i(t)=\sqrt{\frac{2E_{min}}{T_s}}{a}_i\cos (2\pi f_{c}t)+\sqrt{\frac{2E_{min}}{T_s}}{b}_i\sin (2\pi f_{c}t)0\le t\le T_{s}i=1,2,\dots ,M$$

其中，$E_{m}in$ 是振幅最小的信号的能量，$a_i$ 和 $b_i$ 是一对独立的整数，根据特定信号点的位置选择。M-ary QAM 每个符号的能量不是恒定的，符号间距离也不同，某些符号将以比其他符号更高的概率被检测到。

该信号可以被一对基底定义：${\varphi }_1(t)=\sqrt{\frac{2}{T_s}}\cos (2\pi f_{c}t)$，${\varphi }_2(t)=\sqrt{\frac{2}{T_s}}\sin (2\pi f_{c}t)$，由此我们可以得出星座图上的某个信号点坐标应该为 $\left(a_i\sqrt{E_{min}},b_i\sqrt{E_{min}}\right)$，$a_i$ 和 $b_i$ 从以下矩阵中选出：

{ a i , b i } = [ ( − L + 1 , L − 1 ) ( − L + 3 , L − 1 ) … . ( L − 1 , L − 1 ) ( − L + 1 , L − 3 ) ( − L + 3 , L − 3 ) … . ( L − 1 , L − 3 ) ⋅ ⋅ . . ⋅ ⋅ . ⋅ ( − L + 1 , − L + 1 ) ( − L + 3 , − L + 1 ) … . ( L − 1 , − L + 1 ) ] \left\{a_i, b_i\right\}=\left[\begin{array}{cccc} (-L+1, L-1) & (-L+3, L-1) & \ldots . & (L-1, L-1) \\ (-L+1, L-3) & (-L+3, L-3) & \ldots . & (L-1, L-3) \\ \cdot & \cdot & . & . \\ \cdot & \cdot & . & \cdot \\ (-L+1,-L+1) & (-L+3,-L+1) & \ldots . & (L-1,-L+1) \end{array}\right] { ai​,bi​}=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​(−L+1,L−1)(−L+1,L−3)⋅⋅(−L+1,−L+1)​(−L+3,L−1)(−L+3,L−3)⋅⋅(−L+3,−L+1)​….…...….​(L−1,L−1)(L−1,L−3).⋅(L−1,−L+1)​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

其中 $L=\sqrt{M}$，例如对于 16-QAM，以上矩阵为

{ a i , b i } = [ ( − 3 , 3 ) ( − 1 , 3 ) ( 1 , 3 ) ( 3 , 3 ) ( − 3 , 1 ) ( − 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) ( 3 , 1 ) ( − 3 , − 1 ) ( − 1 , − 1 ) ( 1 , − 1 ) ( 3 , − 1 ) ( − 3 , − 3 ) ( − 1 , − 3 ) ( 1 , − 3 ) ( 3 , − 3 ) ] \left\{a_i, b_i\right\}=\left[\begin{array}{cccc} (-3,3) & (-1,3) & (1,3) & (3,3) \\ (-3,1) & (-1,1) & (1,1) & (3,1) \\ (-3,-1) & (-1,-1) & (1,-1) & (3,-1) \\ (-3,-3) & (-1,-3) & (1,-3) & (3,-3) \end{array}\right] { ai​,bi​}=⎣⎢⎢⎡​(−3,3)(−3,1)(−3,−1)(−3,−3)​(−1,3)(−1,1)(−1,−1)(−1,−3)​(1,3)(1,1)(1,−1)(1,−3)​(3,3)(3,1)(3,−1)(3,−3)​⎦⎥⎥⎤​

QAM 调制的功率谱和带宽效率与 M-ary PSK 调制相同。就功率效率而言，QAM 优于 M-ary PSK。下图列出了理想情况下不同 M 值的 QAM 信号的带宽和功率效率：

M-ary Frequency Shift Keying (MFSK)

MFSK 的传输信号定义为
$$s_i(t)=\sqrt{\frac{2E_s}{T_s}}\cos \left[\frac{\pi }{T_s}(n_c+i)t\right]i=1,2,\dots ,M$$

其中 $f_c=n_c/2T_s$. 传输的 M 个信号能量相等，持续时间也相等，信号频率相隔 $1/2T_s$ Hz，使信号相互正交。M 越大，带宽效率越低，功率效率越高，即 BER 越低，如下图所示：

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References

Wireless Communications: Principles and Practices, 2nd Edition, Theodore S. Rappaport.