一、图的定义，邻接矩阵和邻接表的实现

一、初识图

（1）图的定义

（2）图的分类

一、初识图

（1）图的定义

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合（必须存在顶点）和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V，E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

（2）图的分类

若顶点到顶点之间的边设有方向，则称这条边为无向边。如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。

若顶点到顶点的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧。如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。

除此之外还有：

简单图
无向完全图
有向完全图
稠密图
带权图（网）
...

二、图的存储结构

（1）邻接矩阵

图的邻接矩阵存储方式是用二维数组来表示图，我们来看一个实例

它的邻接矩阵为：

简单解释一下，对于矩阵的主对角线的值，即arc[0][0]、arc[1][1]、arc[2[2]、arc[3][3]，全为0是因为不存在顶点到自身的边，比如 $v_{0}$ 到 $v_{0}$ 。arc[0][1]=1是因为 $v_{0}$ 到 $v_{1}$ 的边存在，而arc[1][3]=0是因为 $v_{1}$ 到 $v_{3}$ 的边不存在。并且由于是无向图， $v_{1}$ 到 $v_{3}$ 的边不存在，意味着 $v_{3}$ 到 $v_{1}$ 的边也不存在。所以无向图的边数组是一个对称矩阵。

有了这个矩阵，我们就可以很容易地知道图中的信息。

我们要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点在邻接矩阵中第ⅰ行（或第i列）的元素之和。比如顶点1的度就是1+0+1+0=2。
求顶点M的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点。

有向图的邻接矩阵也是一样

而如果是带权图的话，如果两个顶点可达，那么我们就将arc[i][j]的1变为他们两点之间的权值，如果两个顶点之间不可达，那么我们就将arc[i][j]的0变为无穷大。这里需要注意自己到自己的权值为0。

邻接矩阵（无向图）的实现：

#include<iostream>
using namespace std;

#define MAXVEX 100//最大顶点数
typedef char VertexType;//顶点类型
typedef int EdgeType;//边上的权值类型
typedef struct
{
	VertexType vexs[MAXVEX];//顶点表
	EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];//邻接矩阵
	int numVertexte;//当前顶点数
	int numEdges;//当前边数
}MGraph;

void CreateMGraph(MGraph* G)//建立无向网图的邻接矩阵表示
{
	int i, j, k, w;
	cout << "请输入顶点数和边数：" << endl;
	cin >> G->numVertexte >> G->numEdges;
	for ( i = 0; i < G->numVertexte; ++i)//读入顶点信息，建立顶点表
	{
		cin >> G->vexs[i];
	}

	for (i = 0; i < G->numVertexte; ++i)
	{
		for ( j = 0; j < G->numVertexte; ++j)
		{
			G->arc[i][j] = INT_MAX;//邻接矩阵初始化
		}
	}

	for (k = 0; k < G->numEdges; ++k)
	{
		cout << "输入边（vi，vj）上的下标i，下标 j 和权 w：" << endl;
		cin >> i >> j >> w;
		G->arc[i][j] = w;
		G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
	}
}

int main()
{
	MGraph G;
	CreateMGraph(&G);
	return 0;
}

（2）邻接表（无向图）

邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是我们也发现，对于边数相对顶点较少的图，这种结构是存在对存储空间的极大浪费的。于是引出了链式存储的结构。

邻接表的处理办法是这样。

图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过数组可以较容易地读取顶点信息，更加方便。另外，对于顶点数组中，每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针，以便于查找该顶点的边信息。
图中每个顶点的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以用单链表存储。

例如

无向图的邻接表

有向图的邻接表

对于带权值的网图

邻接表（无向图）的实现

#include<iostream>
using namespace std;

#define MAXVEX 100//最大顶点数
typedef char VertexType;//顶点类型
typedef int EdgeType;//边上的权值类型

typedef struct EdgeNode
{
	int adjvex;//邻接点域，存储该顶点对应的下标
	EdgeType weight;//用于存储权值，对于非网图可以不需要
	struct EdgeNode* next;//指向下一个邻接点
}EdgeNode;

typedef struct VertexNode //顶点表结点
{
	VertexType data;//存储顶点信息
	EdgeNode* firstedge;//指向该顶点的第一个相邻结点
}VertexNode,AdjList[MAXVEX];

typedef struct
{
	AdjList adjList;
	int numVertexes;//当前顶点数
	int numEdges;//当前边数
}GraphAdjList;

void CreateALGraph(GraphAdjList* G)//建立无向网图的邻接矩阵表示
{
	int i, j, k;
	EdgeNode* e;
	cout << "请输入顶点数和边数：" << endl;
	cin >> G->numVertexes >> G->numEdges;
	for ( i = 0; i < G->numVertexes; ++i)//读入顶点信息，建立顶点表
	{
		cin >> G->adjList[i].data;
		G->adjList[i].firstedge = nullptr;
	}

	for (k = 0; k < G->numEdges; ++k)//建立邻接表
	{
		cout << "输入边(vi，vj)上的顶点序号：" << endl;
		cin >> i >> j;
		e = new EdgeNode;
		e->adjvex = j;
		e->next = G->adjList[i].firstedge;
		G->adjList[i].firstedge = e;//头插法

		e = new EdgeNode;
		e->adjvex = i;
		e->next = G->adjList[j].firstedge;
		G->adjList[j].firstedge = e;//头插法
	}
}

int main()
{
	GraphAdjList G;
	CreateALGraph(&G);
	return 0;
}

（3）其他

除上述两种方法之外，图的存储方式还有十字链表，邻接多重表，边集数组等。