基础算法优化——Fast Modular Multiplication

1. 引言

Yuval Domb 2022年论文《Fast Modular Multiplication》

模乘可以说是任何密码系统中计算量最大的算术原语。本文提出了一种高效、硬件友好的算法，据作者所知，该算法优于迄今为止的算法。

标准的modulo-prime multiplication problem in ${\mathbb{F}}_s$表示为：
$$\begin{array}{c}r=a\cdot b\mathrm{mod}s\end{array}$$
其中 $a,b,s\in {\mathbb{F}}_s$，$s$为素数，并利用标准$\mathbb{Z}$-algebra。
等价为：
$$\begin{array}{c}a\cdot b=l\cdot s+r\end{array}$$
其中，$l\in \mathbb{Z}$，使得 $0\le r<s$。

本文主要为（1）中计算提供了一种高效、硬件友好的快速计算方法。

将所有变量以$d$-进制来表示，其中${\mathbb{F}}_s$内的每个元素都以$n$个digits来表示，有：
$$\begin{array}{c}n=\lceil {\log }_{d}s\rceil \end{array}$$

接下来，简单地令$d=2$，所有元素以二进制来表示。

尽管本文重点关注modulo-prime multiplication，但可将其推广到任意$a\mathrm{mod}s$运算，其中$a<s^2$，$s$可为素数或非素数的任意值。

2. 本文主要贡献

本文主要展现了，如何将：

• Barrett Reduction算法（具体见Barrett 1987年论文《Implementing the rivest shamir and adleman public key encryption algorithm on a standard digital signal processor》）
• 与 好的参数选择
• 以及 简单的bounding技术

结合，用于求取quotient $l$的近似值，近视精度为一个小的constant error，该constant error与$n$无关（无论$n$值大小）。

令人惊讶的是，最终的reduction算法与Montgomery的Modular-Multiplication算法（见Montgomery 1985年论文《 Modular multiplication without trial division》）类似，但是本文最终的reduction算法不需要coordinate translation。

本文的bounding技术可用于进一步降低特定感兴趣场景的计算复杂度（知识需要增加constant error），本文不展开。