分类模型——Softmax回归
第一章 机器学习是什么
第二章 深度学习是什么
第三章 前馈神经网络
第四章 卷积神经网络
第五章 交叉熵函数
前言
之前我们一直在说“线性回归”，而Softmax回归虽然也叫回归，但是它与线性回归的应用有本质区别。线性回归主要适用于输出为连续值的情景，而Softmax回归主要适用于输出为离散值的分类场景。此外，softmax回归的输出单元从一个变成了多个，且引入了softmax运算使输出更适合离散值的预测和训练。
Softmax回归模型
softmax回归跟线性回归一样将输入特征与权重做线性叠加。但是，softmax回归的输出值并非一个，而是和要预测的类别数相等，
例如，如果要根据4种特征预测三种动物类别，那么权重包含12个标量（带下标的w）、偏差包含3个标量（带下标的b），且对每个输入计算o1,o2,o3这三个输出：
softmax回归同线性回归一样，也是一个单层神经网络，且输入层和输出层进行全连接。
既然分类问题需要得到离散的预测输出，那么就把每个离散值Oi作为输入样本属于该类别的置信度，并将所有离散值中值最大的输出所对应的类作为预测输出，即
例如，O1，O2，O3分别为0.1，10，0.1，对应的类别分别为鸡，猫和狗，由于O2值最大，那么预测类别为2，其代表猫。
然而，直接使用输出层的输出有两个问题。
第一：由于输出层的输出值的范围不确定，我们难以直观上判断这些值的意义。输出值的范围跨度可能会很大，有的输出可能为0.1，有的甚至为上百上千，这就很难通过比较不同的输出值进行分析，例如刚才举的例子中的输出值10表示“很置信”图像类别为猫，因为该输出值是其他两类的输出值的100倍。但如果o1=o3=10的3次方，那么输出值10却又表示图像类别为猫的概率很低。。
第二：由于真实标签是离散值，这些离散值与不确定范围的输出值之间的误差难以衡量。
softmax运算符（softmax operator）解决了以上两个问题。它相当于对所有输出做了归一化处理，通过下式将输出值变换成值为正且和为1的概率分布：
其中：
我们注意到
因此softmax运算不改变预测类别输出。
单样本分类的矢量计算表达式
为了提高计算效率，我们可以将单样本分类通过矢量计算来表达。在上面的图像分类问题中，假设softmax回归的权重和偏差参数分别为
设高和宽分别为2个像素的图像样本 i 的特征为
输出层的输出为
预测为狗、猫或鸡的概率分布为
softmax回归对样本ii分类的矢量计算表达式为
总结
- softmax回归适用于分类问题。它使用softmax运算输出类别的概率分布。
- softmax回归是一个单层神经网络，输出个数等于分类问题中的类别个数。
- 交叉熵适合衡量两个概率分布的差异。
参考文献：《动手学深度学习》（pytorch版） 李沐 著；