零知识证明学习（二）—— 零知识证明多项式问题

初始零知识证明

零知识证明（Zero-Knowledge Proofs，ZKP）背景知识，为什么引入多项式（Polynomial）？

简单的证明

这里我们介绍一种简单的证明，先不考虑零知识，交互性等等。

假设Alice有个长度为10的bit数组，Alice需要向Bob证明这个数组的所有bit都为1，实际Alice是知道每一个bit都为1的。这时Bob想要检查这个数组bit是否全为1，他以任意的顺序的抽取其中一个元素，如果这个元素等于1，因此检查正确的概率只有$\frac{1}{10}$的概率（这概率有点小啊），如果验证某一个bit为0，则Alice是错误的。

这里我们我们需要考虑一个问题，如何提高Bob检查正确的概率，在某些情况下，当验证者的正确概率达到$50\%$时候才能相信证明者说的是正确的，这也意味着Bob需要至少检查5个bit数组才能满足概率。如果想要正确概率达到$95\%$时，Bob几乎需要检查全部bit是否正确。这时我们可以很大的缺陷，只有检查一定数量的数组才能满足要求，当遇到上万级别的数组，如果还需要使用这种方法，这显然是不切实际的。

多项式

假设一个多项式为：$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$，其中一个多项式的次数由$x$最大指数决定，该多项式次数为3。多项式有一个非常好的性质，如果有两个不同的多项式，且最高幂次为$d$，则该多项式的交点不超过$d$。例如，我们将上面多项式修改一下为：$f(x)=x^3-6x^2+10x-5$,如下图绿线所示，我们可以看到经过修改，两个多项式曲线相交于一点。事实上，两个不相等的多项式是不可能共用一条曲线，简单的说就是，两个不同的曲线只会存在相交的点。

这个属性是从寻找相交点产生的。如果我们想要找两个多项式的交点，需要将两式相等求解，例如我们找多项式$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$与$x$的解，将多项式等于$0$，求解得到$x=1,x=2,x=3$。相似的我们求解多项式$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$和$f(x)=x^3-6x^2+10x-5$，找到一个交汇点$x=1$，如下图所示

对于任意幂次为$d$多项式，任何这样的方程的结果总是另一个幂次为$d$多项式的结果，因为这些多项式没有产生更高的幂次。例如$5x^3+7x^2-x+2=3x^3-x^2+2x-5$，简化为$2x^3+8x^2-3x+7=0$。代数基本定理告诉我们这个幂次为$d$的多项式最多有$d$个解，因此有$d$个共同点。

因此，我们可以得出结论，任何多项式在任意点的求值，类似于其唯一恒等式的表示。事实上，对于所有$x$的选择，在上面这些多项式中，只有最多3个选项的值相等，并且与其他选项的值都不同。

结论

如果一个证明者声称知道某个多项式(但不知道它的幂次数有多大，验证者也知道，他们可以遵循一个简单的协议来验证这个声明:

• 验证者随机选择一个$x$，并计算本地多项式
• 验证者把$x$给证明者，并询问计算多项式计算结果
• 证明者收到$x$后进行计算，并将结果给验证者
• 证明者收到结果与本地多项式计算结果进行对比。

假设我们考虑$x$的取值范围为$1-10^{77}$,因此对于多项式不同点的数量至少为$10^{77}-d$。因此，验证者选择$x$选择共享点的概率为$\frac{d}{10^{77}}$，这基本上是可以忽略的。

注意：与低效的比特检查协议相比，新协议只需要一次，并给出了正确的结论。

这就是$zk-SNARK$的核心是构造多项式！