原题网址：https://www.lintcode.com/zh-cn/problem/triangle/
描述
给定一个数字三角形，找到从顶部到底部的最小路径和。每一步可以移动到下面一行的相邻数字上。
如果你只用额外空间复杂度O(n)的条件下完成可以获得加分，其中n是数字三角形的总行数。
您在真实的面试中是否遇到过这个题？
样例
比如，给出下列数字三角形：
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
从顶到底部的最小路径和为11 ( 2 + 3 + 5 + 1 = 11)。
标签
动态规划(DP)
思路：首先明确“每一步可以移动到下面一行的相邻数字上。”是什么意思，即是说当前行的某列 j，可以选择移动到下一行的 j 或者 j+1 。【注意图中的三角形状，当前行的 j 与下一行的 j-1 不相邻。最开始没明白这点，汗-_-||】
可以建立一个二维数组dp[n][n]表示终点为元素（i，j）的最小路径和，到达（i，j）要么从（i-1，j）走，要么从（i-1，j-1）走。
则dp【i】【j】为上一行的同列和前一列路径和小的加上triangle【i】【j】，即dp【i】【j】=min（dp【i-1】【j】，dp【i-1】【j-1】）+triangle【i】【j】。
初始dp【0】【0】=triangle【0】【0】。
关于防止数组下标越界问题：转自此博客
//要取dp[i-1][j-1]，和dp[i-1][j]，但是要保证不越界。 //第i-1行的j的取值范围为[0, i-1] int lo = max(0, j-1);//当j-1小于0的时候只取0，大于等于0的时候取自身。 int hi = min(j, i-1);//当j大于i-1的时候只取i-1，小于等于i-1的时候取自身。
代码：
int minimumTotal(vector<vector<int>> &triangle) { int n=triangle.size(); if (n==0) { return 0; } vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n,0)); dp[0][0]=triangle[0][0]; for (int i=1;i<n;i++) { for (int j=0;j<=i;j++) { //防止访问上一行时列下标越界; //第i-1行j的取值范围为0~i-1; int lo=max(0,j-1); //lo最小值为0; int hi=min(j,i-1); //hi最大值为i-1; dp[i][j]=min(dp[i-1][lo],dp[i-1][hi])+triangle[i][j]; } } int result=dp[n-1][0]; for (int i=1;i<n;i++) { if (dp[n-1][i]<result) { result=dp[n-1][i]; } } return result; }
如果只用额外空间复杂度O(n)，可把行信息去掉，定义一维数组dp[n]，dp[j] 表示遍历到第 i 行时，三角形中第 i 行第 j 列处为终点的最小路径和。
状态转移方程为 dp[j] = min（dp[j] （上一行）+ dp[j-1]（上一行））+ triangle[i][j]。
注意根据状态方程更新数据时要考虑覆盖问题：如果对列从前往后遍历，则上一行相应dp值被当前行dp值覆盖，影响下一列的计算，所以应从后往前遍历。可参考 此博客 及 背包问题 。
遍历完三角形后，dp[n]中存放的是从顶点到最后一行各点的最小路径和，找出其中的最小值return出去即可。
AC代码：
class Solution { public: /** * @param triangle: a list of lists of integers * @return: An integer, minimum path sum */ int minimumTotal(vector<vector<int>> &triangle) { // write your code here int n=triangle.size(); if (n==0) { return 0; } vector<int> dp(n,0); dp[0]=triangle[0][0]; for (int i=1;i<n;i++) { for(int j=i;j>=0;j--) //注意这里的顺序，如果从前向后遍历将覆盖上一行相应位置的最短路径，所以应该从后向前遍历; { //防止访问上一行时列下标越界; int lo=max(0,j-1); //lo最小值为0; int hi=min(j,i-1); //hi最大值为i-1; dp[j]=min(dp[lo],dp[hi])+triangle[i][j]; } } int result=dp[0]; for (int i=1;i<n;i++) { if (dp[i]<result) { result=dp[i]; } } return result; } };
其它参考：