基于Python实现的感知机PLA人工智能实验

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感知机PLSA

1. 算法原理

感知机针对二分类问题进行学习。输入为样本的特征向量$\mathbf{x}\in R^n$，输出为类别 y ∈ { + 1 , − 1 } y\in\{+1,-1\} y∈{ +1,−1}。

感知机的预测结果为$f(x)=sign(w\cdot x+b)$，其中$sign$为符号函数，在自变量大于0时为1，自变量小于0时为-1。$w$为权值向量，和x的维度相同。b是偏置，为标量。线性方程$w\cdot x+b$对应着特征空间的一个分离超平面，将特征空间分成两个部分，位于两部分的点分别对应正样本和负样本。

感知机利用损失函数对模型参量w和b进行更新学习。将误分类点$(x_i,y_i)$到分离超平面的距离定义为：
$$\frac{1}{||w||}||w\cdot x+b||=-\frac{1}{||w||}(w\cdot x_i+b)y_i$$
假设误分类点的集合为M，且不考虑$-\frac{1}{||w||}$则损失函数为：
$$L(w,b)=-\sum _{x_i\in M}{y}_i(w\cdot x_i+b)$$
可以采用随机梯度下降的方式来优化损失函数。w和b的损失函数梯度分别为：
$${\nabla }_{w}L(w,b)=-\sum _{x_i\in M}{y}_i{x}_i$$

$${\nabla }_{b}L(w,b)=-\sum _{x_i\in M}{y}_i$$

选择某个误分类点对参数进行更新即可：
$$w=w+\eta y_i{x}_i$$

$$b=b+\eta y_i$$

其中$\eta$表示学习率，由自己定值。

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2. 流程图和伪代码

从csv文件读取样本的过程不再赘述。训练集存在列表trainSet中，每个元素为一个样本，每个样本为一个向量，有41维，前40维为40个不同特征的特征值，第41维为标签0或1。为了方便训练过程，我将标签0在读入数据时改为了-1。

设置学习率和初始化w和b：

    w = [ 0 for i in range(40)]
    b = 0
    learningRate = 1

在训练过程中，对每个分类点进行检索并找出误分类点：

/* 
input: 数据集trainSet 学习率learningRate 模型参量w和b
output: 训练好的w和b 
*/
def train(trainSet, learningRate, w, b){
    times = 0
    while (times <= 最大迭代次数)
        times += 1
        w, b = PLA(trainSet, learningRate, w, b)
    end
    return w, b
}

需要注意的是，当训练集线性不可分时，PLA算法不可能将所有的分类点准确地分成两个部分，每次必然会出现误分类点。如果训练到不出现误分类点时才停止，程序将不会停止。所以需要设置最大迭代次数，即上面代码设定的times。每次迭代时，times加一，当递归次数达到最大值时停止训练。

每次迭代过程的操作如下：

/*
input: 数据集trainSet 学习率learningRate 模型参量w和b
output: 每次迭代后的的w和b 
*/
def PLA(trainSet, learningRate, w, b){
    for eachSample in trainSet:
        num = w和eachSample的向量乘积 + b
        /* 出现误分类点，更新参量后直接返回 */
        if 当前点为误分类点 then
            w = w + learningRate*x*y
            b = b + learningRate*y
            return w, b
    end
    /* 没有出现误分类点，返回训练好的w和b */
    return w, b
}

验证和测试过程只需要用向量w乘以特征向量x后加上b，依据结果的正负判断预测值即可，这里不再赘述。

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3. 代码展示

首先是对训练集的读取：

4. 创新点

在上述的PLA算法中，我尝试在每次出现误分类点时，输出当前误分类点的编号。我发现，在几千条数据样本中，总是在第几十条或是几百条的时候碰到误分类点。每次更新后重新迭代，又要从首个样本开始判断，这就导致了一个问题：在整个数千条的训练样本中，只有前几百条被反复训练了，直到达到最大迭代次数，之后的几千条样本完全都不会训练到。对此，我进行了改进。

经测试，这种方法的耗时远大于设置最大迭代次数的耗时。实际上，即便设置较大的最大迭代次数，在我的测试中，在两三百次迭代后w和b的值就会基本收敛。而设置误分类最大次数会极大增加迭代次数。然而，我的改进方法的准确率的确要比原来的算法高。详细的数据分析见下面的实验结果及分析。

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5. 实验结果及分析

在7000条样本中，我选取了前6000条作为训练集，后1000条作为验证集。

首先说明实验要求的PLA算法下的结果。有两个参数可以进行调整：学习率和迭代次数。其中，迭代次数决定了模型是否精确地贴合了训练集的分布。在每次w和b更新后输出二者的值，如果二者几乎没有变化则说明参数已经收敛，更多的迭代次数也几乎没用。而迭代次数过少则模型会欠拟合，显然不利于模型的精度。理论上迭代次数越大越好，尽管过大没有必要。所以下面只讨论学习率对结果的影响，保证在不同的学习率下，迭代次数为10000。

针对不同的学习率，我测试了最后的准确率，结果如下：

学习率	10	1	0.1	0.01	0.001	0.0001	0.00001
准确率	58.8%	58.0%	58.8%	58.8%	58.0%	58.8%	58.8%

可以看出，在这种情况下，学习率对准确率的影响不大，几乎是没有影响。原因我认为正如之前分析的，在每次遇到误分类点之后更新权值，重新迭代时又从头开始找误分类点，之后的多数样本都训练不到。少量的样本的学习导致了欠拟合，不管学习率如何，模型本身就不能很好地反映样本的分布，准确率自然也就反常。不过考虑到验证集中有51%的1标签，49%的-1标签，准确率也已经高于了随机值，也就是说模型训练的确还是起到了一定效果的。

接着是我的创新算法的分析，有两个参数可以进行调整：学习率和最大误分类次数。

先设置学习率为1，对不同的最大误分类次数，准确率如下：

最大误分类次数	1	2	3	4	5	7	10	20
准确率	75.4%	76.0%	77.1%	76.2%	76.4%	76.3%	76.2%	76.5%

可以看到，在最大误分类次数较小时，出现了明显的准确率峰值，在之后准确率几乎不变。这种结果可以想见：在次数较小时，某些不是比较异常的点被剔除，造成了模型的不准确，而次数较大时，异常点已经多次用于更新模型参数，异常点已经对模型因产生了较大影响，同样也使得模型不精确。

在误分类次数为3时准确率达到最大值。在改次数下，对不同的学习率进行测试：

学习率	10	1	0.1	0.01	0.001
准确率	77.1%	77.1%	77.1%	77.1%	77.1%

某些不是比较异常的点被剔除，造成了模型的不准确，而次数较大时，异常点已经多次用于更新模型参数，异常点已经对模型因产生了较大影响，同样也使得模型不精确。

在误分类次数为3时准确率达到最大值。在改次数下，对不同的学习率进行测试：

学习率	10	1	0.1	0.01	0.001
准确率	77.1%	77.1%	77.1%	77.1%	77.1%

在误分类次数为3的前提下改变学习率，在上述的学习率下准确率居然完全没有改变。我觉得应该是在不同的学习率下，剔除的异常点每次都相同，剩下的样本相同且能够被线性分类。考虑到模型参数必然会收敛，小学习率只是会影响收敛快慢，而不会影响模型参数结果，从而导致了相同的结果。

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