欧拉函数定义可看:数论四大定理
欧拉函数的一些性质:
欧拉定理:对于互质的正整数a和n,有a^E(n) ≡ 1 mod n。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质,E(m*n)=E(m)*E(n)。
若n是质数p的k次幂,E(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)*p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
特殊性质:当n为奇数时,E(2n)=E(n)
扩展性质:因为a^φ(p) ≡ 1 (mod p)所以a^b % p = (a%p)^(b%φ(p)) % p(前提是a和p互质)
如果p是质数a^b % p = (a%p)^(b%(p-1) % p
这个公式好像可以摆脱a,p互质的束缚:a^b % p = (a%p)^(φ(p) + b%φ(p)) % p (我也不知道为什么==,数论真是个神奇的东西)
/*欧拉函数解法: Euler函数表达通式(即解法):E(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…(1-1/pn), 其中p1,p2……pn为x的所有素因数,x是不为0的整数。E(1)=1(唯一和1互质的数就是1本身)。*/ //复杂度:O(√n) int phi(int x){ int ans=x; for(int i=2;i*i<=x;i++){ if(x%i == 0){ ans = ans/i * (i-1); while(x % i==0) x/=i; } } if(x>1) ans = ans/x*(x-1); return ans; } //欧拉筛 //1.跟埃筛素数差不多 const int N = 1e6+5; int phi[N]; void Euler(int n){ //筛出所有小于等于n的欧拉函数值 memset(phi,0,sizeof(phi)); phi[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++){ if(!phi[i]){ for(int j=i;j<=n;j+=i){ if(!phi[j]) phi[j] = j; phi[j] = phi[j]/i*(i-1); } } } } //2.比上面更快的方法,需要用到如下性质。当p为质数: //(1). phi(p)=p-1 因为质数p除了1以外的因数只有p,故1至p的整数只有p与p不互质 //(2). 如果i mod p = 0, 那么 phi(i * p)=phi(i) * p //(3).若i mod p ≠0, 那么 phi( i * p )=phi(i) * ( p-1 ) const int N = 1e6+5; int phi[N],prime[N]; int tot; //计数,表示prime[N]中有多少质数 void Euler(int n){ ////筛出所有小于等于n的欧拉函数值和素数 memset(phi,0,sizeof(phi)); tot=0,phi[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++){ if(!phi[i]){ phi[i] = i-1; prime[tot++]=i; } for(int j=0;j<tot&&1ll*i*prime[j]<=n;j++){ if(i%prime[j]!=0) phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1); else{ phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j]; break; } } } }