智能算法-局部邻域搜索算法

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1. 邻域概述

函数优化问题中在距离空间中，通常的邻域定义是以一点为中心的一个球体（邻居们）。

2. 局部邻域搜索

可以通俗理解成：目的是想找到一个问题的最优解。首先在解决中找到一个可行解（初始解，该解未必是最优解），然后在该初始解附近去探索，找到初始解邻域中比初始解还要好的最优解（设为解A）。然后在解A的附近再去探索，再找到解A邻域中比解A还要好的最优解（设为解B），一直这样探索下去，直到达到循环结束条件，输出最终的解。

3. 示例讲解

3.1 问题描述

使用局部搜索算法求解五个城市的对称旅行商路径问题，即从A点出发，经过所有的节点，最终返回A点，求所用距离最短的路径。其中A,B,C,D,E分别代表五个城市，A节点为起点城市。

距离权重矩阵 $D$ 如下所示：

五个城市节点路径示意图：

3.2 求解过程

3.2.1 步骤一：产生初始解

此处使用随机的方式产生初始解（也可以使用别的方式产生初始解），

初始解为 $xbest=(ABCDE)$，当前最优（短）路径长度 $f(xbest)=45$

定义邻域映射为对换两个城市位置的2-opt（两元素优化），选定A城市为起点。

3.2.2 步骤二：第一次搜索

此处使用全邻域搜索，即将当前解的邻居都找出来去比较大小。 第一次搜索找到的邻域集为：

$N(xbest)$ = {(ABCDE)，(ACBDE)，(ADCBE)，(AECDB)，(ABDCE)，(ABEDC)，(ABCED)}

这些邻域都是由初始解以及初始解 $(ABCDE)$两两城市依次调换得到的解

注：A城市没有被调换是因为A是固定起点，不能换顺序

对应目标函数为 $f(x)$={45, 43, 45, 60, 60, 59, 44}

更新最优解： $xbest=xnow=(ACBDE)$

3.2.3 步骤三：第二次搜索

第二次搜索找到的邻域集为：

$N(xbest)$ ={(ACBDE)，(ABCDE)，(ADBCE)，(AEBDC)，(ACDBE)，(ACEDB)，(ACBED)}，

对应目标函数为 $f(x)$ ={43, 45, 44, 59, 59, 58, 43}

更新最优解 $xbest=xnow=(ACBDE)$

接下来，继续重复上述方式搜索，直到满足结束条件。

我们可以发现最优解又变成上一步最优解了，这也是局部搜索的局限性之一。

4. 局部搜索特点

• 简单易行，但无法保证全局最优性（找到的可能是局部最优解，此算法不能跳出局部最优）；
• 局部搜索主要依赖起点的选取和邻域的结构（起点选在局部最优附近，迭代几次找到的是局部最优解）
• 为了得到好的解，可以比较不同的邻域结构和不同的初始点；
• 如果初始点的选择足够多，总可以计算出全局最优解（多试一试）