图论算法(3)：图的基本表示（邻接矩阵、邻接表、邻接矩阵与邻接表的对比）

本章节内容使用 java 实现，Github 代码仓：https://github.com/ZhekaiLi/Code/tree/main/Graph/src

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【参考资料】imooc 波波老师：玩转算法系列–图论精讲 面试升职必备（Java版）

【往期博客链接】
图论算法(1、2)：图的分类、图的基本概念（无向图与有向图、无权图、无环图、完全图、二分图；简单图、连通分量、图的生成树、子图与母图）
图论算法(3)：图的基本表示（邻接矩阵、邻接表、邻接矩阵与邻接表的对比）
图论算法(4)：图的深度优先遍历 DFS
图论算法(5)：图的广度优先遍历 BFS
图论算法(6)：LeetCode 图论算法练习（785.判断二分图、695.岛屿的最大面积、Floodfill 算法、并查集）

3. 图的基本表示

3.1 邻接矩阵

图 $G=(V,E)$ 的 邻接矩阵(adjacency matrix) $C$ 是如下定义的：
C = ( c i j ) n × n ∈ { 0 , 1 } n × n c i j = { 1 ,      ( i , j ) ∈ E 0 ,      ( i , j ) ∉ E \begin{aligned} C&=(c_{ij})_{n\times n}\in\{0,1\}^{n\times n}\\ c_{ij}&=\begin{cases} 1,\;\;(i,j)\in E\\ 0,\;\;(i,j)\notin E \end{cases} \end{aligned} Ccij​​=(cij​)n×n​∈{ 0,1}n×n={ 1,(i,j)∈E0,(i,j)∈/​E​​

示例：有向图及其邻接矩阵

而对于无向图来说，其邻接矩阵是对称的（$c_{ij}=c_{ji}$）

可以用下图中央这样的两列数据来表示一个无向图，然后将其翻译为邻接矩阵

java 实现：AdjMatrix.java

3.2 邻接表

为什么要引入邻接表?（邻接矩阵的复杂度）

邻接矩阵的的建图时间复杂度 $O(E)$（遍历每条边），以及判断两点是否相邻的时间复杂度 $O(1)$ 没有提升空间，但其空间复杂度以及求相邻节点的时间复杂度较大

尤其是例如对于一个有3000个节点的树（无向图），它只有2999条边，即使是乘2也只有6000不到组数据，但是其对应的邻接矩阵的空间复杂度却是 $O(3000^2)$，近千倍的差距！

邻接表的定义

图的邻接表(adjacency list) 是所有节点的邻接表的集合
各节点的邻接表由其：

1. 邻边（无向图）
2. 出弧（有向图）

组成，并用一个单向链表列出，链表中每个单元对应于一条邻边/出弧，此外还可以包含弧上的权等作为数据域。

邻接表的表示

对于有向图 $G=(V,E)$，一般用 $A(i)$ 表示节点 $i$ 的邻接表，即节点 $i$ 的所有出弧构成的集合或链表

对于无向图，$A(i)$ 则表示节点 $i$ 邻边的集合

图的整个邻接表还可以用一个指针数组表示。例如：（下图中第一个指针数组表示，$1\to 2$ 的权重为8，$1\to 3$ 的权重为9）

java 实现：AdjList.java

邻接表的复杂度

相较于邻接矩阵的复杂度，邻接表在空间复杂度、求相邻节点的时间复杂度这两方面有明显优势，但其建图的时间复杂度、判断两点是否相邻的时间复杂度较大。

降低这两个复杂度的关键在于实现快速查看重复边/ 快速判断两点是否相邻，因此我们可以使用哈希表 $O(1)$ 或红黑树 $O(\log V)$ 代替链表（在 java 中分别对应 HashSet, TreeSet, LinkedList）

java 实现：Graph.java（使用红黑树）

3.3 比较：矩阵 vs 两种表

因此我门最终选用邻接表(TreeSet) 作为图的表达形式（当然也可以使用HashSet）