多路增广 Dinic算法

才疏学浅，不妥之处，敬请斧正。

$EK$最短增广路算法中每次只增广一条，$Dinic$算法则多路增广。
$Dinic$算法首先需要建立分层图，准确的说是每次多路增广前都要建立分层图，可以在残量网络上进行$bfs$构建分层图。
分层图：满足$d[x]+1=d[y]$的边$(x,y)$构成的子图被称为分层图。
然后在分成图上$DFS$寻找增广路，回溯是更新残量。直到残量网络中源点$S$无法到达汇点$T$。
$bfs$求层次、构建分层图的时候，如果残量网络中当前的边的容量为0，则不需要对其求层次，因为没有意义。同样，求过层次的点不需要再求一次。
每次多路增广之前都需要求一次层次，因为同一个点，可能因为和它连接的点的失效而导致层次不同。
$dinic(x,flow)$表示当前节点是$x$并且当前增广路上的最大流量是$flow$的情况下最大的流量，相当于对$x$的子节点都进行了增广，直到在当前残量网络上无法从$x$开始找到一条增广路为止。
如果当前节点就是汇点，显然$flow$就是可以可以增加的流量，直接返回即可。
如果不是汇点，则递归的处理对其子节点进行增广。

int dinic(int x, int min_flow){
    
    
	// x表示当前结点
	// min_flow表示当前增广路上的最小流量
	if (x == t)return min_flow;
	int r, k;
	r = min_flow;
	for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]){
    
    
		int y = to[i];
		if (ed[i] && d[y] == d[x] + 1){
    
    
			k = dinic(y, min(min_flow, ed[i]));
			if (!k) d[y] = 0;
			ed[i] -= k;
			ed[i ^ 1] += k;
			r -= k;
		}
	}
	return min_flow - r;
}

上述代码中的

int k = dinic(y, min(min_flow, ed[i]));

表示求$x$的子节点$y$在前面的最小流量为$minflow$的情况下，最多可以增加多少流量。
代码中的$r$表示的是$x$结点的残量，每次有一个子节点完成了增广，则残量$r=r-k$，$minflow$是从源点流向当前节点$x$的增广路上的最小流量，$r$一开始与$minflow$相等，每从$x$出发成功增广一次，$r$就减小一点，减小的部分就是此次增广增加的流量，因此全部完成增广后，$minflow-r$就是从$x$开始的多条增广路最大可以增加的流量。

至于有些人这样的写法，我个人的理解是有些多余，但是也没有什么影响，因为从源点$s$开始增广，结束的时候应该是完成了整个残量网络上的增广，因此不写第二个while也是可以的。

while (bfs()){
    
    
	int num;
	while ((num = dinic(s, inf)))max_flow += num;
}

// dinic
#include <bits/stdc++.h>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof a)
using namespace std;
const int N = 310;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int head[N], nex[N], to[N], ed[N], cnt;
inline void add(int a, int b, int c){
    
    
	to[++cnt] = b, nex[cnt] = head[a], head[a] = cnt, ed[cnt] = c;
	to[++cnt] = a, nex[cnt] = head[b], head[b] = cnt, ed[cnt] = 0;
}
int d[N];
int n, m, s, t;
queue<int > q;
bool bfs(){
    
    // 构建分层图
	while (q.size())q.pop();
	mem(d, 0);
	d[s] = 1;
	q.push(s);
	while (q.size()){
    
    
		int top = q.front();
		q.pop();
		for (int i = head[top]; ~i; i = nex[i]){
    
    
			int y = to[i];
			if (ed[i] && !d[y]){
    
    
				d[y] = d[top] + 1;
				q.push(y);
				if (y == t)return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}
int dinic(int x, int min_flow){
    
    
	// x表示当前结点
	// min_flow表示当前增广路上的最小流量
	if (x == t)return min_flow;
	int r, k;
	r = min_flow;
	for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]){
    
    
		int y = to[i];
		if (ed[i] && d[y] == d[x] + 1){
    
    
			k = dinic(y, min(min_flow, ed[i]));
			if (!k) d[y] = 0;
			ed[i] -= k;
			ed[i ^ 1] += k;
			r -= k;
		}
	}
	return min_flow - r;
}
void pre_work(){
    
    
	mem(head, -1);
	mem(nex, -1);
	cnt = 1;
}
int main(){
    
    
	freopen("in.in", "r", stdin);
	ios::sync_with_stdio(0);
	pre_work();
	cin >> n >> m >> s >> t;
	while (m--){
    
    
		int a, b, c;
		cin >> a >> b >> c;
		add(a, b, c);
	}
	int max_flow = 0;
	while (bfs()){
    
    
		max_flow += dinic(s, inf);
	}
	cout << max_flow << "\n";
	return 0;
}