矩阵快速幂优化的dp

如果你已经推导出了转移方程
$dp[i][j]=\sum dp[i-1][fit[j]]$
那么你可以把这个式子表示为如下的矩阵形式：
$$\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}dp[i-1][0]\\ dp[i-1][1]\\ dp[i-1][2]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}dp[i][0]\\ dp[i][1]\\ dp[i][2]\end{array}\right]$$
左边第一个矩阵设为T，T[i][j]为1，表示i与j是fit的。为0则不fit。
设等式右边那块是fn，则这个式子可以表示为$T\ast f_{n-1}=f_n$,推下去就得到$T^{n-1}\ast f_1=f_n$。把$T^{n-1}$用矩阵快速幂解出来，与$f_1$相乘就得到$f_n$了。
与笨拙的循环dp相比，速度之快令人咋舌。