Homography & Projective Geometry

参考资料:
[1]Projective Geometry: A Short Introduction
[2]计算机视觉笔记1:白话射影几何
[3]lecture_1_3-basic-projective-geometry
[4]2D projective transformations(homographies)
[5]Homography, Mosaicing and Stabilization
[6]Homogeneous Coordinates and Computer Graphics
[7]为什么引入齐次坐标的变换矩阵可以表示平移呢?
[8]homogeneous-matrix-has-eight-independent-ratios-of-matrix-elements
[9]从零开始学习「张氏相机标定法」(二)单应矩阵

本来只是学习一下Homography,没想到引出Projective Geometry的大坑。

首先,什么是homography? [4]中如此定义:
homography
non-sigular,非奇异,也就是说这个homography矩阵行列式不为0,可逆。
line preserving,”保线“性质,直线被映射到直线。

具体到二维射影,也就是把一个平面射影到另一个平面中,有这样的关系[5]:
planar

其中,“~”符号表示变换间有一个比例关系,也就是up to scale factor。
这个二维射影的homography矩阵虽然有9个元素,但是自由度是8,因为——
dof
有两种将这个矩阵的自由度约束为8的方法[5]:
enforce
[5]的中文版解释可以参考[9]。
要注意如果是用第一种方法,即令h33=1,那么假如真实的h33=0就无法得到正确的答案了。

如何求解homography呢?DLT or Inhomogeneous solution[4]。

还有Homogeneous coordinates 和 Projective geometry 的关系,就类似于Cartesian
coordinates 和 Euclidean geometry,参考[6]。

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