Homography知多少

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在ORB-SLAM初始化的时候，作者提到，如果场景是平面，或者近似平面，或者低视差时，我们能应用单应性矩阵(homography)，这三种情形在我应用SVO的过程中颇有同感，打破了我对HH矩阵的固有映像，即只能用于平面或近似平面。但是我不知道如何去具体分析这里面的误差，比如不共面的情况时，应用HH矩阵将一个图像坐标从图像1投影到图像2时，它会落在图像哪个位置？和实际位置的误差该怎么计算？误差会有多大？和哪些因素有关？另外，为何相机只做纯旋转运动时，不管平面还是非平面，HH矩阵都能应用？等等，一些列问题，让我感觉对homography了解很粗浅。

先简单回顾我脑海里的HH矩阵，让大家有点代入感，原谅我的啰嗦，进入正文以后就会尽量言简意赅。在没做视觉SLAM以前，通过opencv大概知道：利用两个图像中至少四个特征点能够求解一个单应性矩阵(homography matrix)，然后用这个单应性矩阵HH能够将图像1中的某个坐标(u,v)(u,v)变换到图像2中对应的位置(u′,v′)(u′,v′)。然而，那时忽略了两个图像能够计算HH的前提条件。在学SLAM过程中，知道HH矩阵的推导是来自于相机在不同位姿拍摄同一个三维平面，所以使用opencv计算单应性矩阵HH的时候前提是两个图像对应区域必须是同一平面。

最近，刘浩敏师兄的RKSLAM里面用了多HH矩阵来提高鲁棒性，以及加上开头的那些疑问让我有迫切进一步学习HH矩阵的想法。本文将包括三部分：HH的由来，HH矩阵的扩展：相机的纯旋转和非共面情形，由HH矩阵到6点法估计本征矩阵EE。

HH矩阵的由来

假设相机在两个不同位姿处拍摄一个平面，该平面在frame 1中的法向量为NN，到frame 1原点距离为dd，具体如下图所示 
 
于是，坐标系1中的点可以用下式转换到坐标系2中：

X2=RX1+TX2=RX1+T

注意， 大写粗体 XX 表示的是 三维空间点 。同时，由于三维点 X1X1 所在平面上，由简单的直角三角形，可知该点沿着法线方向的投影距离应等于 dd ：

NTX1=n1X+n2Y+n3Z=dNTX1=n1X+n2Y+n3Z=d

或者

1dNTX1=1∀X1∈P1dNTX1=1∀X1∈P

结合起来我们能够得到：

X2=RX1+T1dNTX1=HX1X2=RX1+T1dNTX1=HX1

所以我们就得到了平面单应性矩阵

H=R+T1dNT,H∈R3×3H=R+T1dNT,H∈R3×3

回忆之前提到过本征矩阵 xT2Ex1=xT2T^Rx1=0x2TEx1=x2TT^Rx1=0 ，它只是把点对应到一条极线，而 单应性矩阵约束更强，是点到点的一一对应 。

注意，本征矩阵约束公式是对于归一化图像平面坐标x=(x,y,1)Tx=(x,y,1)T而言的，而上述推导的HH是对三维空间点的。从3d到2d, 只需要将3d点向归一化图像平面z=1z=1上投影。三维空间点到归一化图像平面只是对坐标缩放了zz，有：

λ1x1=X1,λ2x2=X2→λ2x2=Hλ1x1λ1x1=X1,λ2x2=X2→λ2x2=Hλ1x1

从这里我们可以发现，从归一化图像平面坐标 x2x2 到 Hx1Hx1 之间还存在一个尺度因子，因此我们利用两个图像对应的坐标对能恢复 HH ，但从该 HH 中无法将平移 TT 和 dd 分离出来，就导致了尺度的不确定性。而利用 HH ，我们能得到 x2∼Hx1x2∼Hx1 ，注意虽然这里是用的相似符号，但是我们还是能得到图像坐标的一一对应，计算出 x=Hx1x=Hx1 以后，将 xx 的坐标都除以 xzxz 进行坐标归一化，就能得到 x2x2 。

H矩阵的扩展：相机的纯旋转和非共面情形

先看纯旋转情形，三维坐标关系如下：

X2=RX1X2=RX1

对应的有

H=R+T1dNT,T=0H=R+T1dNT,T=0

我们可以发现公式H和深度d没有关系了，无论三维点是否在一个平面上， HH 矩阵都能完美的符合他们之前的转换关系。同时，平移向量为0，可以等价于所有点位于无穷远平面上，即 d←∞d←∞ 。从另一个角度来看，如果位移为0，也无法计算d，d为任意值都能满足上面点的转换关系。所以， 大家在做全景拼接的时候，要尽量只用纯旋转哦！ 当然，如果相机全景拼接算法好，就当我没说。 

好了，让我们回到另一个问题，即非共面情形，又不是纯旋转，那我们使用一个 HH 矩阵来进行坐标点的转换误差会咋样?

假设我们有一些非共面点，通过RANSAC算法估计了一个满足大多数点对应关系的HH矩阵，那么对于不在三维平面上的p′p′用矩阵HH转换以后，HH会强迫它落到三维平面上，然后投影到另一个图像归一化平面，示意图如下： 

也就是说 p′p′ 实际应该对应 x′2x2′ ，由于使用了错误的模型 HH ，它会落到 x2x2 。 x2x2 的横纵坐标通过H矩阵能够算出， x′2x2′ 坐标通过将 p′p′ 进行旋转矩阵 RR 和平移 TT ，再投影以后也能算出。因此两个坐标相减就能得到误差模型。不需要精确的数学计算，单单从上面的图，我们就能直观的感受到 当相机的平移向量相对于场景深度而言足够小时，x′2x2′和x2x2之间的误差是可被接受的，即这种情况下依然可以使用H矩阵来算坐标的一一对应 ，这应该就是orbslam中提到的低视差情形。

一个重要的启示是：HH矩阵的这种直接计算图像坐标一一对应关系的性质给解决SLAM中像素点的匹配又提供了一条思路，如果一个HH矩阵不行，那一幅图片就用多个HH矩阵，这正是浩敏师兄那篇ISMAR 2016论文的重要框架基础。而通过本征矩阵EE只能计算极线，还需要沿着极线匹配。

由HH矩阵到本征矩阵EE的一点遐想

既然说到了极线，顺着上面的思路，干脆探一探本征矩阵EE。其实，上面图中，大家伙都看到x′2x2′和x2x2是位于极线上的，他们坐标都知道，就能得到极线方程，如果还有另外一个点再确定一条极线，如下图所示 

那么外极点 e2e2 就能确定，极点确定了，H也知道，那么其他任意点的极线就能画出来了，不用本征矩阵我们也可以构造极线几何。这就是所谓的“六点法”，四个共面点确定H,两个非共面点确定极点。

另外，还可以解释为什么8点法计算求解本征矩阵不能应用于共面的情形。我们知道一个向量和自己叉乘结果等于0，所以有

x^2x2=0→x^2Hx1=0x^2x2=0→x^2Hx1=0

另外，任意三维向量 uu 和 x2x2 的叉乘肯定垂直于向量 x2x2 ，所以有：

u^x2⊥Hx1⇒(u^x2)THx1=0⇒−xT2u^Hx1=0⇒xT2u^Hx1=0u^x2⊥Hx1⇒(u^x2)THx1=0⇒−x2Tu^Hx1=0⇒x2Tu^Hx1=0

所以我们能得到 E=u^HE=u^H ，这说明 EE 在这种情况下有无穷多解都能满足 xT2Ex1=0x2TEx1=0 ，这个时候还用8点法，肯定是不行了。

总结

总算写完了，推荐大家去读Yi Ma的书《An Invitation to 3D vision》上面几乎都来自于这本书，同时之前也提到过TUM的Prof.Cremers上课就是用的这本书。除此之外，再推荐个基于该书的课程。视觉几何真心水深，没有理论积累，没有前人指点，坑是填不完的，祝好(对大家，也是对自己)。 

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ref：已在总结中指出，不再列举。